Question

100 PONTOS!

Seja $T : R^3$ ⇒ $R^3$ a aplicação dada por:


$T(x,y,z) = (x,x,0)$


1) Mostre que T é uma transformação Linear;


2) Determine o Núcleo de T, o que este representa geometricamente?


3) Determine o conjunto Imagem de T, o que este representa geometricamente?



Obrigado.

Answer 1

1)

Para mostrar que T é uma transformação linear temos que verificar que dados dois vetores v₁ = (x₁, y₁, z₁) e v₂ = (x₂, y₂, z₂) e um escalar λ vale que:

T(v₁ + λv₂) = T(v₁) + λT(v₂)

No problema, por um lado temos

T(v₁ + λv₂) = T( (x₁, y₁, z₁) + λ(x₂, y₂, z₂) ) = T(x₁ + λx₂, y₁ + λy₂, z₁+λz₂)

T(v₁ + λv₂) = (x₁ + λx₂, x₁ + λx₂, 0) ( I )

Por outro lado

T(v₁) + λT(v₂) = (x₁, x₁, 0) + λ(x₂, x₂, 0) = (x₁ + λx₂, x₁ + λx₂, 0)  ( II )

Logo, comparando ( I ) e ( II ) temos T(v₁ + λv₂) = T(v₁) + λT(v₂) e portanto T é transformação linear.

2)

O núcleo consiste dos pontos (x,y,z) do domínio de T tais que T(x,y,z) = 0. Assim temos que resolver a equação

T(x,y,z) = (0,0,0)

(x,x,0) = (0,0,0)

x = 0

Logo, o núcleo de T é o plano yz:

Núcleo de T = Ker(T) = {(0,y,z) ∈ R³; y,z ∈ R}

Obs.: Podemos escrever (0,y,z) como y(0,1,0) + z(0,0,1). Ou seja, o núcleo de T é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores (0,1,0) e (0,0,1).

3)

A imagem da transformação é o conjunto de todos os valores assumidos por T(x,y,z). Como T(x,y,z) = (x,x,0) temos

Im(T) = { (x,x,0) ∈ R³; x ∈ R}

Já que (x,x,0) = x(1,1,0), a imagem de T é o conjunto de todos os múltiplos do vetor (1,1,0). Ou seja, esse conjunto é uma reta.

Answer 2

Resposta:

Resposta abaixo:

Explicação passo-a-passo:

1) T(x,y,z)=(x,x,0)

Para ser uma transformação linear, temos que provar que:

T(u+av)=T(u)+aT(v)

Usando os vetores:

u=(x1,x2,x3)

v=(y1,y2,y3)

Substituindo:

T(u+av)=T((x1,x2,x3)+a(y1,y2,y3))=T(x1+ay1,x2+ay2,x3+ay3)=(x1+ay1,x1+ay1,0)=

(x1,x1,0)+a(y1,y1,0)=T(x1,x2,x3)+aT(y1,y2,y3)=T(u)+aT(v)

Logo é uma transformação linear.

2) T(x,y,z)=(x,x,0)

O núcleo é:

T(x,y,z)=(0,0,0)

(x,x,0)=(0,0,0)

Logo,

x=0

Então,

T(0,y,z)=(0,0,0)

Qualquer vetor no formato (0,y,z) está no Núcleo, ou seja,

NucT={(x,y,z) em R³; x=0}

Geometricamente isso representa: está no plano x=0, ou seja, é um plano formado pelas coordenadas y e z.

3) T(x,y,z)=(x,x,0)

O conjunto imagem são os elementos que possuem a forma (x,x,0).

ImT={(x,y,z) em R³; x=y e z=0}

Geometricamente temos que x=y e z=0, logo é a reta x=y.