Question

100 pontos questão de logaritimo.
É dada a progressão geométrica infinita (45; 15; 5; 5/3; 5/9; ...).
Obtenha o menor valor de n de modo que o enésimo termo (An) seja menor que 1/30.
Adote os valores:
$log(2) = 0.30 \: \: log(3) = 0.48$

Preciso de uma resposta que insira log na resolução. Desde já, agradeço!

Answer 1

A progressão geométrica (45;15;5;5/3;5/9;...) pode ser representada pela função:

$a_n=45*(1/3)^{n-1}$

O valor de A1 é maior que 1/30, porém, com o aumento do valor de n, haverá um momento em que An será menor que 1/30 e é justamente esse valor que procuramos.

Se analizarmos o valor de n real veremos que nessa passagem, haverá um valor de n tal que An seja igual a 1/30. O provável é que esse número não seja inteiro, assim é só analizar o próximo número inteiro após o real encontrado que satisfará a condição imposta no enunciado.

Aplicando, temos:

$45*(\frac{1}{3})^{n-1}=\frac{1}{30}\\\\(\frac{1}{3})^{n-1}=\frac{1}{30*45}\\\\(\frac{1}{3})^{n-1}=\frac{1}{10*3^3*5}\\\\\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{10*3^3*5}=n-1\\\\n=1+\frac{\log{\frac{1}{10*3^3*5}}}{\log{\frac{1}{3}}}\\\\n=1+\frac{-log(10*3^3*5)}{-log3}\\\\n=1+\frac{log10+3log3+log5}{log3}\\\\n=1+\frac{1+3*0.48+log(\frac{10}{2})}{0.48}\\\\n=1+\frac{1+1.44+log10-log2}{0.48}\\\\n=1+\frac{2.44+1-0.3}{0.48}\\\\n=1+\frac{3.14}{0.48}\\\\n=1+\frac{314}{48}\\\\n=1+\frac{157}{24}\\\\n=1+\frac{144+13}{24}$

$n=1+\frac{144}{24}+\frac{17}{24}\\\\n=1+6+\frac{17}{24}\\\\n=7+\frac{17}{24}$

n é um número entre 7 e 8, pois 17/24 é menor que 1. Os números maiores que o n fazem com que a função sejam menores que 1/30 e os menores o contrário, assim, o menor número inteiro que satisfaz a condição é o 8.

Resposta: n=8

Dúvidas? Comente.

Answer 2

- Queremos que n'ésimo termo, seja um valor < 1/30

- Como se trata de uma PG, seu termo an deve ser < 1/30.

- Vamos começar determinando a razão dessa PG

$q=\dfrac{a_2}{a_1}\\\\ q=\dfrac{15}{45}\\\\ q=\dfrac{1}{3}$


- Sabendo disso, faremos o que a questão nos pede.

an < 1/30

a₁ . qⁿ⁻¹ < 1/30 

45. (1/3)ⁿ⁻¹ < 1/30

45. (1/3)ⁿ⁻¹ < 30⁻¹

aplicamos o Logaritmo, pois não como igualar as bases


log [45. (1/3)ⁿ⁻¹]  < log 30⁻¹

log45 + log (3⁻¹)ⁿ⁻¹ < -1. log 30

log 45  + log3⁻ⁿ⁺¹  < - log 30

log ( 45. 3⁻ⁿ⁺¹) < - log ( 3 .10)            

log ( 45. 3⁻ⁿ⁺¹)   <  - log3 + log1

log ( 45. 3⁻ⁿ⁺¹)  < - log3           cancelamos o log

3⁻ⁿ⁺¹ < - 3/45

3⁻ⁿ⁺¹  < - 1/15

3⁻ⁿ⁺¹ < - 1/(30/2)            aplicamos log novamente para eliminar

log3⁻ⁿ⁺¹ <  - log [(1/(30/10)]

log 3⁻ⁿ⁺¹  < - log [(10/30)

log 3⁻ⁿ⁺¹  < - log [ 3⁻¹]

log 3⁻ⁿ⁺¹  < 1 . log3

 3⁻ⁿ⁺¹ < 3

-n + 1 < 1

-n < 1 - 1 

n  > 0

0 n deve ser um valor maior que 0 [ 1,2,3,4,5,6...]