Question

10. (UnB) As retas 4x + 6y – 5 = 0 e 14x + 30y + 2 = 0 interceptam-se em um ponto M.
A reta que passa por M e é perpendicular à reta de equação 12x +1 = 5y é:
a) 5x + 12y – 2 = 0    b) 5x = 12y + 8 = 0       c) 10x + 24y = 0      d) 10x + 24y + 7 = 0

RESOLUÇÃO PFV!!

Answer 1

Bom, demorou mais saiu !

Primeiro vamos definir a equação das duas retas em função de x ok?

Reta1: 

4x + 6y -5 = 0
6y = +5 -4x

y' = 5-4x/6

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Reta2:

14x + 30y + 2 = 0

30y = -14x -2

y'' = -14x-2/30
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A questão fala que as retas se interceptam, portanto:

Y' = Y''

5-4x/6 = -14x-2/30

150 - 120x = -84x - 12

150+12 = -84x + 120x

162 = 36x

x = 162/36 (simplifica)

x = 9/2
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precisamos descobrir qual ponto Y da interceptação corresponde ao X da interceptação, para isso basta substituir x em qualquer uma das equações da reta, ao acaso vou escolher a segunda:

y = -14x -2/30

Y = -14*9/2 -3/30

Y = -63-2/30

Y = -65/30

Y = -13/6

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Bom, então os pontos de interceptação com a reta M são (9/2 ; -13/6)

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A questão fala que a reta M é perpendicular a reta: -12x - 1 = 5y, lembre-se que ser perpendicular à uma reta, quer dizer que o coeficiente angular da reta é o inverso do coeficiente angular com se é perpendicular. Logo, vamos achar o coeficiente angular dessa reta e calcular o seu inverso. logo:
5y = -12x - 1

y = -12x/5 - 1/5

Portanto o coeficiente dessa reta é -12/5

A produto dos coeficientes de retas perpendiculares tem que ser = -1

Portanto   C'*-12/5 = -1

C* = -5/12, pronto, esse é o nosso coeficiente angular da reta

para descobrir qual a Função dessa reta, temos que :

(9/2 ; -13/6)  C = -5/12

Portanto só substituir na função: Y = ax + b

-13/6 = -5/12*9/2 + b

-13/6 +45/24 = b (mmc = 24)

-52/24 + 45/24 =b

b = -7/24

Logo a função é Y = -5x/12 - 7/24

tirando o m.m.c que é 24 fica:

y = -10x/24 - 7/24

y = -10x-7/24

24y = -10x -7

24y +10x +7 = 0

Portanto
letra ''D''

dúvidas ou erro só avisar

Answer 2

A reta que passa por M e é perpendicular a outra reta é 10x + 24y + 7 = 0.

Para que duas retas sejam perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve ser igual a -1.

As equações podem ser escritas como:

4x + 6y - 5 → y = (5 - 4x)/6

14x + 30y + 2 → y = (-2 - 14x)/30

O ponto M é dado por:

(5 - 4x)/6 = (-2 - 14x)/30

30(5 - 4x) = 6(-2 - 14x)

150 - 120x = -12 - 84x

36x = 162

x = 9/2

Substituindo x:

y = (5 - 4.(9/2))/6

y = -13/6

O ponto M é (9/2, -13/6).

Dada uma equação da forma reduzida y = ax + b, sendo a e b os coeficientes angular e linear, respectivamente, temos que:

12x + 1 = 5y → y = 12x/5 + 1/5

y = ax + b

a.(12/5) = -1

a = -5/12

Para que a reta passe por M, devemos substituir este ponto e encontrar b:

-13/6 = (-5/12).(9/2) + b

b = -13/6 + 45/24

b = 7/24

A equação da reta é:

y = -5x/12 - 7/24

24y = -10x - 7

10x + 24y + 7 = 0 (em laranja)

Resposta: D

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