Question

1° Uma fabrica de refrescos tem uma produção de 7350 garrafas, as quais devem ser separadas em caixas com 21 unidades cada. É possivel fazer isso sem que sobrem garrafas ou espaços nas caixas?

2° As caixas citadas no item anterior devem ter as garrafas organizadas em fileiras com a mesma quantidade de garrafas em cada. Quantos tipos de caixas diferentes podem ser feitos, com relação á distribuição dessas fileiras?

Answer 1

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⠀⠀☞ Para caixas com 21 unidades cada teremos as 7.350 garrafas serão distribuídas em 350 caixas, podendo estas serem montadas de 10 tipos diferentes. ✅

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⠀⠀ 1º Para descobrir se sobrarão ou não garrafas na distribuição das 7.350 garrafas em caixas com 21 garrafas cada basta dividirmos o total de garrafas pelo espaço em cada caixa e verificar se há ou não resto:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{7350}{21} = 350}$⠀⠀✅

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⠀⠀Ou seja, teremos um total de 350 caixas com 21 garrafas cada sem nenhuma sobra. ✌

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⠀⠀2º Para encontrarmos o total de caixas diferentes que podem ser montadas com diferentes fileiras basta encontrarmos os pares de divisores de 350 através de sua fatoração:

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$\sf\large\gray{\boxed{\blue{\begin{array}{c|c|l}&\sf\underline{~~F~~}&\sf\underline{~~D~~}\\&&\\~~~~&~~~~&\{1\}~~~\\&&\\350&2&\{2\}\\&&\\175&5&\{5, 10\}\\&&\\35&5&\{25, 50\}\\&&\\7&7&\{7, 14, 35, 70, 175, 350\}\\&&\\1&&\\\end{array}}}}$  

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$\blue{\sf Div(350) = \{1, 2, 5, 7, 10, 14, 25, 35, 50, 70, 175, 350\}}$

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⠀⠀Com a exceção do par {1, 350} temos o seguintes pares:

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$\blue{\Large\sf~~\begin{cases}\sf~\{2, 175\}~e~\{175, 2\} \\\\ \sf~\{5, 70\}~e~\{70, 5\} \\\\ \sf~\{7, 50\}~e~\{50, 7\} \\\\ \sf~\{10, 35\}~e~\{35, 10\} \\\\ \sf~\{14, 25\}~e~\{25, 14\} \end{cases}}$⠀⠀✅

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⠀⠀Totalizando dez maneiras diferentes para confecção destas caixas.  ✌

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$\Large\red{\sf N\acute{U}MERO~DE~DIVISORES}$  

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⠀⠀Temos que o número de divisores de um número natural qualquer pode ser encontrado da seguinte forma:

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• I) Tomamos os expoentes dos fatores primos agrupados que o compõem (lembrando que 1 não é definido como um número primo)

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• II) Somamos 1 a cada um deles;

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• III) Multiplicamos os valores obtidos.

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⠀⠀Mas quem serão estes divisores? A forma como encontramos estes divisores é dada pelo seguinte algoritmo:

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• I) Na mesma estrutura da fatoração, montamos uma nova coluna à direita da coluna dos fatores (chamemos esta coluna dos fatores de F)  que será composta pelos divisores do nosso número original. Chamemos esta coluna de D;

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• II) Inicialmente vamos colocar o 1 no topo desta nova coluna. A partir de agora faremos multiplicações, em diagonal, entre os termos desta nova coluna D com os termos da coluna F. Nossa primeira multiplicação será do primeiro fator (chamemos ele de F₁) pelo número 1 (chamemos ele de D₀). O número resultante será escrito abaixo do 1 e será o nosso D₁.  

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• III) Agora teremos duas possibilidades:  

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➡ se Fₙ₊₁ ≠ Fₙ então teremos que Dₙ₊₁ será o conjunto dos números formados pela multiplicação de Fₙ₊₁ por todos os elementos da coluna D encontrados até agora (estando no momento inicial será um conjunto com somente os dois elementos F₂ × D₀ e F₂ × D₁);

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➡ se Fₙ₊₁ = Fₙ então teremos que Dₙ₊₁ será somente Fₙ₊₁ × Dₙ para não repetirmos os divisores já encontrados anteriormente.

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⠀⠀Tendo repetido este algoritmo para todos os fatores individuais do nosso número original, encontramos todos os divisores dele nesta nova coluna D.

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre:

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✈ Divisores de um número (brainly.com.br/tarefa/37266101)  

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$