Matemática, perguntado por alicejhener, 3 meses atrás

10. (UFSM - RS) As retas r es tangenciam a circunferência de equação x² + y²-4x+3 = 0, respectivamente, nos pontos P e Qe passam pelo ponto = (0,0). A medida do ângulo POQ vale: (a) 150. (b) 309. (c) 45°. (d) 60º. (e) 90º. 4

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

Por meio dos cálculos realizados, conseguimos encontrar que o ângulo $\boxed{\bf P\hat{O}Q \:\:\acute{e}\:\: 60^{o}}$ .

Temos a seguinte equação:

$\:\:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \bf x {}^{2} + y {}^{2} - 4x + 3 = 0}$

Essa questão requer uma grande série de cálculos, então vamos montar um roteiro do que devemos fazer para chegar na resposta.

Roteiro:

$\begin{cases}{ \bf1)} \: montar \: uma \: relac \tilde{a}o \: para \:P \\ \: \: \: \: \: {\bf1.1) }\: coeficiente \: angular\\{ \bf 2)} \: encontrar \: o \: ponto \: de \: tang \hat{e}ncia \\ \: \: \: \: \: {\bf2.2} ) \: simetria\\ {\bf3)} \: determinar \: o \: \hat{a}ngulo \end{cases}$

Inicialmente vamos encontrar um dado que não é fornecido, mas necessário, que é o raio e o centro da circunferência do enunciado.

$\begin{cases}x {}^{2} + y {}^{2} - 4x + 3 = 0 \\ x {}^{2} - 4x + y {}^{2} + 3 = 0 \\ (x - 2) {}^{2} + (y - 0) {}^{2} = 1 \end{cases} \: \to \: \begin{cases}raio = 1 \\ centro \: (2,0)\end{cases}$

Vale lembrar que se um ponto faz parte de uma equação, quer dizer que ele satisfaz essa igualdade, então se nomearmos o ponto de tangência como $\bf P(x_0,y_0)$ , temos que se ele faz parte da circunferência, então:

$P(x_0,y_0) \: \to \: (x_0) {}^{2} + (y_0) {}^{2} - 4.(x_0 )+ 3 = 0 \\$

Em seguida, podemos encontrar duas expressão para o coeficiente angular das retas de tangência, uma que passa pela origem $\bf O(0,0)$ e pelo ponto de tangência e a outra pelo centro da circunferência e o ponto de tangência.

$\text{reta} \: 1 \: \to O(0,0) \:e\:P(x_0,y_0) \\m = \frac{y_0 - 0}{x_0 - 0}\: \to \: \boxed{m = \frac{y_0}{x_0} } \\ \\ \text{reta} \: 2 \: \to C(2,0) \:e\:P(x_0,y_0) \\ m = \frac{y_0 - 0}{x_0 - 2} \: \to\: \boxed{ m = \frac{y_0 }{x_0 - 2}}$

De acordo com uma propriedade, sabemos que no ponto de tangência o ângulo formado é 90°, ou seja, essas retas serão perpendiculares, isto nos permite utilizar outra propriedade que nos diz:

O produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares, resulta em 1.

$\left (\frac{y_0}{x_0} \right). \left( \frac{y_0 }{x_0 - 2} \right ) = - 1 \: \to \: \frac{y_0 {}^{2} }{ x_0 {}^{2} - 2x_0 } = - 1 \\ \\ y_0 {}^{2} = - x_0 {}^{2} + 2x_0 \: \to \: \boxed{ y_0 = \pm \sqrt{- x_0 {}^{2} + 2x_0} }$

Com essa expressão, podemos substuí-la na relação que montamos bem no início da questão, onde o resultado será o ponto de tangência.

$x_0 {}^{2} + ( \sqrt{ -x_0 {}^{2} + 2x_0} ) {}^{2} - 4x_0 + 3 = 0 \\ x_0 {}^{2} - x_0 {}^{2} + 2x_0 - 4x_0 + 3 = 0 \\ - 2x_0 = 3 \: \to \: \boxed{x_0 = \frac{3}{2} }$

Substituindo este resultado novamente na equação para determinarmos $\bf y_0$ :

$y_0 = \sqrt{ - \left( \frac{3}{2} \right){}^{2} + 2. \frac{3}{2} } \: \to \: y_0 = \sqrt{ - \frac{9}{4} + 3} \\ \\ y_0 = \sqrt{ - \frac{9 + 12}{4} } \: \to \: \boxed{y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2} }$

Ou seja, o ponto de tangência é $\bf P\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\\$ .

Outra coisa que não mencionei é que essas retas tangênciais são simétricas, ou seja, o ponto é basicamente o mesmo, o que muda é o valor da ordenada, já que eles são simétricos em relação a reta $\bf y = 0$ . Portanto, vamos substituir os dados encontrados acima na relação do coeficiente angular e encontrar um valor numérico.

${ \text{reta}_{1}} \: \to \: m = \frac{y_0}{x_0} \: \to \: m = \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }{ \frac{3}{ 2 } } \: \to \: m = \frac{ \sqrt{3} }{3} \: \: \: \: \: \\ \\ { \text{reta}_{3}} \: \to \: m = - \frac{y_0}{x_0} \: \to \: m = - \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }{ \frac{3}{ 2 } } \: \to \: m - \frac{ \sqrt{3} }{3}$

Para finalizar vamos encontrar o ângulo entre estas retas vamos utilizar a relação adequada para isto.

$\tg( \alpha ) = \left| \frac{m_{s} - m_{r}}{1 +m_{s}. m_{s}} \right | \: \to \: \tg( \alpha ) = \left| \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{3} - \left( - \frac{ \sqrt{3} }{3} \right)}{1 + \frac{ \sqrt{3} }{3} . \left( - \frac{ \sqrt{3} }{3} \right)} \right | \\ \\ \tg( \alpha ) = \left| \frac{ \frac{2 \sqrt{3} }{3} }{1 - \frac{1}{3} } \right | \: \to \: \tg( \alpha ) = \left| \frac{ \frac{2 \sqrt{3} }{3} }{ \frac{2}{3} } \right | \: \to \: \: \tg( \alpha ) = \left| \frac{2 \sqrt{3} }{3} . \frac{3}{2} \right | \\ \\ \tg( \alpha ) = \sqrt{3} \: \: \to \: \: \alpha = \arctan( \sqrt{3} ) \: \: \to \: \: \boxed{\alpha = 60 {}^{o} }$