Question

10) (UFRGS) Em uma escola, as turmas de ensino médio totalizam 231 estudantes. Para uma atividade festiva escola, todos esses estudantes foram dispostos em filas, obedecendo à seguinte disposição: 1 estudante na primeira fila, 2 estudantes na segunda fila, 3 estudantes na terceira fila, e assim sucessivamente. O número de filas que fora formadas com todos os estudantes é:

a) 19
b) 21
c) 22
d) 23
e) 25

Answer 1

Resposta:

b) 21

Explicação passo-a-passo:

1 +2 +3 +4 +... = 231

Podemos representar isso em uma P.A., já que sempre vai aumentando de 1 em 1, onde a soma dos seus termos é 231.

Fórmula geral da P.A.: Imagem 1

Fórmula da soma dos termos da P.A.: Imagem 2

Razão da P.A.: Imagem 3

A_n = Termo n

A_1 = Primeiro termo

n = Termo

r = Razão

S_n = Soma de n termos

Sabemos que:

A_n = ?

A_1 = 1

n = ?

r = 2-1 = 1

S_n = 231

Agora vamos por isso na fórmula: Imagem 4

Agora só resolver a equação do segundo grau:

a = 1, b = 1, c = -462

x = -b ±√Δ /2.a

Δ = b² -4.a.c

x = -1 ±√(1²-4.1.(-462) /2.1

x = -1 ±√1849 /2

x = -1 ±43 /2

x' = -1 -43 /2 = -44 /2 = -22

x'' = -1 +43 /2 = 42 /2 = 21

Podemos descartar a primeira raiz, já que não faz sentido num número de filas negativo. Logo, a soma de 21 filas, com 1 pessoa na primeira, 2 na segunda, e assim vai, resulta em 231 pessoas.

Dúvidas só perguntar!

Answer 2

Resposta:

Vamos resolver por progressão aritmética.

Sn = 231

a₁ = 1

r = 1

n = ???

Teremos de achar o número de termos para obter a resposta.

an = a₁ + (n-1).r

an = 1 + (n-1).1

an = 1 + n -1

an = n

Sn = (a₁ + an). n/2

231 = (1 + n). n/2

231.2  = (1 + n). n

462 = n².n

n² + n - 462 = 0

Δ = 1² -4.1.(-462) = 1 + 1848

Δ = 1849

n = - 1 ± √1849 =  -1 ± 43

           2.1                 2

n' = (-1 + 43)/2 = 42/2

n' = 21

n'' = (-1-43)/2 = -44/2

n'' = -22

O resultado não poderá ser negativo, portanto:

n = 21

Resp. 21 filas.