Question

10) Sejam x1 e x2‚ as raízes da equação 3x

2 − 4x + 7 = 0. Qual o valor da expressão

2x1x2 − 3(x1 + x2)

Answer 1

Olá, boa tarde.

Sejam $x_1$ e $x_2$ as raízes da equação $3x^2-4x+7=0$. Devemos determinar o valor da expressão: $2x_1x_2-3(x_1+x_2)$.

Para isso, utilizaremos as relações de Girard. Dada uma equação quadrática de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$, ao dividirmos ambos os lados da equação pelo coeficiente $a$, teremos:

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$

Estas relações nos permitem determinar, de acordo com a fórmula da soma e produto $x^2-Sx+P=0$ que a soma $S$ das raízes é calculada por $-\dfrac{b}{a}$ e seu produto é calculado por $\dfrac{c}{a}$.

Dessa forma, divida ambos os lados da equação por um fator $3$

$x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{7}{3}=0$

Facilmente podemos observar que, consoante às relações de Girard que a soma das raízes é dada por $x_1+x_2=\dfrac{4}{3}$ e seu produto é dado por $x_1x_2=\dfrac{7}{3}$.

Substituindo estes resultados na expressão, teremos:

$2\cdot\dfrac{7}{3}-3\cdot\dfrac{4}{3}$

Multiplique e some os valores

$\dfrac{14}{3}-\dfrac{12}{3}\\\\\\ \dfrac{14-12}{3}\\\\\\ \dfrac{2}{3}~~\checkmark$

Este é o resultado da expressão que buscávamos.