Question

1°) Se, no plano cartesiano, a equação da circunferência externa do anel externo da figura é x² + y² - 12x + 8y + 43 = 0, então o centro e o raio dessa circunferência são,

a) (6, - 4) e 3
b) (- 6, 4) e 9
c) (6, - 4) e 9
d) (- 6, 4) e 3
e) (6, 4) e 3

Answer 1

Temos a seguinte equação geral da circunferência:

$\boxed{\sf x {}^{2} + y {}^{2} - 12x + 8y + 43 = 0}$

Temos duas formas de fazer, a primeira é através da comparação com a equação geral padrão, já a segunda forma é através de um macete.

Vou fazer através do método que não usa o macete, pois é interessante você saber.

Para usar esse método devemos fazer comparação com a equação padrão, dada por:

$\begin{cases} \sf x {}^{2} + y {}^{2} - 2ax - 2by + k = 0 \\ \sf onde : \\ \sf k = a {}^{2} + b {}^{2} - r {}^{2} \end{cases}$

Note que no local de -2ax da equação padrão temos o elemento -12x, certamente podemos estabelecer uma relação de igualdade:

$\sf - 2ax = - 12x \\ \sf a = \frac{ - 12x}{ - 2x} \\ \boxed{ \sf a = 6}$

Do mesmo jeito que fizemos essa comparação, vamos fazer com o termo -2by:

$\sf - 2by = 8y \\ \sf b = \frac{8y}{ - 2y} \\ \boxed{ \sf b = - 4}$

Por fim vamos substituir esses valores na relação do "K", sendo que o "K" possui o valor igual a 43. Substituindo os dados:

$\sf k = a {}^{2} + b {}^{2} - r {}^{2} \\ \sf43 = (6) {}^{2} + ( - 4) {}^{2} - r {}^{2} \\ \sf 43 = 36 + 16 - r {}^{2} \\ \sf 43 = 52 - r {}^{2} \\ \sf 43 - 52 = - r {}^{2} \\ \sf - 9 = - r {}^{2} .( - 1) \\ \sf r {}^{2} = 9 \\ \sf r = \sqrt{9} \\ \boxed{\sf r = 3}$

Portanto temos que a resposta é a letra a)

$\boxed{ \large \sf C(6,-4) r = 3}$

Letra a)

Espero ter ajudado