Question

10.(nuce) Dividindo-se um número natural N por 7, obtém-se um quociente Q e um resto R . ao se dividir N por 11, obtém-se um novo quociente Q' e o mesmo resto R. sabendo-se que a diferença entre esses quociente vale 64 e, a soma dos algarismos de N e igual a 10, então, o valor do resto r corresponde a:
A) 5
B)4
C)1
D)2
E)3 a resposta é letra D

Answer 1

Sabemos que Dividendo = Divisor . Quociente + Resto. Portanto, com as informações do enunciado podemos escrever:

N = 7.Q + R   (*)
N = 11.Q' + R   (**)

Fazendo (*) - (**), temos:

N - N = 7Q - 11Q' + R - R
0 = 7Q - 11Q' 

Do enunciado, temos que Q - Q' = 64. Então temos o sistema:

Q - Q' = 64
7Q - 11Q' = 0

Vou resolvê-lo por adição, mas você pode usar o método de sua preferência.
Então vou multiplicar a 1ª equação por -7, para que, quando somá-las, desapareça uma incógnita, no caso, Q:

-7Q + 7Q' = -448
 7Q - 11Q' = 0

Somando, temos:

-4Q' = -448 ⇒ Q' = -448 / -4 = 112

Substituindo Q' por 112 em uma destas equações (vou substituir na 1ª), fica:

Q - 112 = 64 ⇒ Q = 64 + 112 = 176

Substituindo Q por 176 em (*) ou substituindo Q' por 112 em (**), obtemos a mesma equação. Veja:

N = 7. 176 + R
N = 1232 + R
ou 
N = 11 . 112 + R
N = 1232 + R

R é o mesmo nas duas divisões (por 7 e por 11), portanto, ele tem que ser menor que 7. Logo, R pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

Se R for 0, a equação N = 1232 + R fica N = 1232 + 0 = 1232, cuja soma dos algarismos é 8.

Se R for 1 fica N = 1232 + 1 = 1233, cuja soma dos algarismos é 9.

Se R for 2 fica N = 1232 + 2 = 1234, cuja soma dos algarismos é 10, conforme nos informa o enunciado.

Note que se R for 3, 4, 5 ou 6, a soma é maior que 10.

Portanto, R = 2

Logo, alternativa D)