10. (FEI-SP) A função f(x)= x² + bx + c, definida para qualquer valor real x, é nula para x=r ou x = 3r. Determine r sabendo-se que o valor mínimo de f(x) é -9.
a)r=0 our=1 our=-1
b) r=4 ou r=-4
c)r= 3 ou r=-3
d) r=9 ou r=-9
e)r = 2
Soluções para a tarefa
Resposta:
Letra C
Explicação passo-a-passo:
f(x) = x² + bx + c
yV = -Δ/4a
-9 = -(b² - 4ac)/4.1
9 = b² - 4.1c)/4
1) b² - 4c = 36
2) r² + br + c = 0
3) (3r)² + b.3r + c = 0 ⇒ 9r² + 3b²r + c = 0
2) -3r² - 3br - 3c = 0
3) 9r² + 3br + c = 0 (somando 2 e 3)
6r² - 2c = 0 ⇒ 2c = 6r² ⇒ c = 3r²
Substituindo em 1
b² - 4.3r² = 36
b² - 12r² = 36
b² = 12r² + 36
b = +/- √(12r² + 36)
Substituindo em c = 3r² em 2
r² + br + 3r² = 0
4r² + br = 0
4r² + r√(12r² + 36) = 0
r√(12r² + 36) = - 4r²
Quadrando
r²(12r² + 36) = 16r⁴
12r⁴ + 36r² = 16r⁴
36r² + 12r⁴ - 16r⁴ = 0
36r² - 4r⁴ = 0 : 4
9r² - r⁴ = 0
r²(9 - r²) = 0
r² = 0 ⇒ r = 0
ou
9 - r² = 0
r² = 9
r = - 3
ou r = 3
OBS. Não necessidade de substituir b por -(12r² + 36), pois quando quadrar, o - , passa ser +, resultando a na resolução anterior.
Resp. -3, 0, e 3
A única opção é C