10) encontre os restos das divisões de a) x³+x²-1 por 2x-1. b) x³-3x-1/27 por 3x-1
Anexos:
Soluções para a tarefa
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Vamos lá.
Veja, Gerson, que a resolução é simples.
Pede-se os restos das divisões de:
a) P(x) = x³ + x² - 1 por D(x) = 2x-1
e
b) P(x) = x³ - 3x - 1/27 por D(x) = 3x-1.
Agora vamos responder. Veja que uma forma bem simples de encontrar os restos de uma divisão de um polinômio por outro. Para isso, basta você aplicar o já famoso "teorema do resto", que consiste nisto: você encontra a raiz do polinômio pelo qual o primeiro vai ser dividido.
Se o polinômio que vai ser dividido for, por exemplo: D(x) = x - a , então você encontra qual é a raiz, fazendo D(x) = 0. Assim, fazendo isso, teremos:
x-a = 0 ---> x = a .
Assim, basta encontrar qual é o valor de P(a), substituindo por "a" o "x" de P(x). O valor encontrado será o resto pedido.
Bem, vistos esses rápidos prolegômenos, então vamos encontrar qual é o resto das divisões pedidas:
a) P(x) = x³ + x² - 1 por D(x) = 2x-1.
Vamos encontrar a raiz de D(x). Para isso o igualaremos a zero. Assim:
2x - 1 = 0
2x = 1
x = 1/2
Agora vamos encontrar o valor de P(1/2). Para isso, iremos no polinômio P(x) = x³ + x² - 1 e substituiremos o "x" por "1/2". Assim:
P(1/2) = (1/2)³ + (1/2)² - 1
P(1/2) = 1/8 + 1/4 - 1 ---- mmc entre 8 e 4 é "8". Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):
P(1/2) = (1*1 + 2*1 - 8*1)/8
P(1/2) = (1 + 2 - 8)/8
P(1/2) = (3 - 8)/8
P(1/2) = -5/8 <--- Pronto. Esta é a resposta para a questão do item "a". Ou seja, este é o resto da divisão de P(x) por D(x) do item "a".
b) P(x) = x³ - 3x - 1/27 por D(x) = 3x-1.
Utilizando o mesmo método, vamos encontrar a raiz de D(x). Fazendo isso, teremos:
3x - 1 = 0
3x = 1
x = 1/3.
Agora vamos encontrar qual é o valor de P(1/3). E, para isso, iremos no polinômio P(x) = x³ - 3x - 1/27 e substituiremos o "x" por "1/3". Assim:
P(1/3) = (1/3)³ - 3*(1/3) - 1/27
P(1/3) = 1/27 - 3/3 - 1/27
P(1/3) = 1/27 - 1 - 1/27 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
P(1/3) = - 1 <--- Pronto. Esta é a resposta para a questão do item "b". Ou seja, este é o resto da divisão de P(x) por D(x) do item "b".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Gerson, que a resolução é simples.
Pede-se os restos das divisões de:
a) P(x) = x³ + x² - 1 por D(x) = 2x-1
e
b) P(x) = x³ - 3x - 1/27 por D(x) = 3x-1.
Agora vamos responder. Veja que uma forma bem simples de encontrar os restos de uma divisão de um polinômio por outro. Para isso, basta você aplicar o já famoso "teorema do resto", que consiste nisto: você encontra a raiz do polinômio pelo qual o primeiro vai ser dividido.
Se o polinômio que vai ser dividido for, por exemplo: D(x) = x - a , então você encontra qual é a raiz, fazendo D(x) = 0. Assim, fazendo isso, teremos:
x-a = 0 ---> x = a .
Assim, basta encontrar qual é o valor de P(a), substituindo por "a" o "x" de P(x). O valor encontrado será o resto pedido.
Bem, vistos esses rápidos prolegômenos, então vamos encontrar qual é o resto das divisões pedidas:
a) P(x) = x³ + x² - 1 por D(x) = 2x-1.
Vamos encontrar a raiz de D(x). Para isso o igualaremos a zero. Assim:
2x - 1 = 0
2x = 1
x = 1/2
Agora vamos encontrar o valor de P(1/2). Para isso, iremos no polinômio P(x) = x³ + x² - 1 e substituiremos o "x" por "1/2". Assim:
P(1/2) = (1/2)³ + (1/2)² - 1
P(1/2) = 1/8 + 1/4 - 1 ---- mmc entre 8 e 4 é "8". Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):
P(1/2) = (1*1 + 2*1 - 8*1)/8
P(1/2) = (1 + 2 - 8)/8
P(1/2) = (3 - 8)/8
P(1/2) = -5/8 <--- Pronto. Esta é a resposta para a questão do item "a". Ou seja, este é o resto da divisão de P(x) por D(x) do item "a".
b) P(x) = x³ - 3x - 1/27 por D(x) = 3x-1.
Utilizando o mesmo método, vamos encontrar a raiz de D(x). Fazendo isso, teremos:
3x - 1 = 0
3x = 1
x = 1/3.
Agora vamos encontrar qual é o valor de P(1/3). E, para isso, iremos no polinômio P(x) = x³ - 3x - 1/27 e substituiremos o "x" por "1/3". Assim:
P(1/3) = (1/3)³ - 3*(1/3) - 1/27
P(1/3) = 1/27 - 3/3 - 1/27
P(1/3) = 1/27 - 1 - 1/27 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
P(1/3) = - 1 <--- Pronto. Esta é a resposta para a questão do item "b". Ou seja, este é o resto da divisão de P(x) por D(x) do item "b".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
adjemir:
Obrigado, Tiagumacos, pela aprovação da nossa resposta. Um fraternal abraço.
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