10) Determine o conjunto imagem e os intervalos de crescimento e decrescimento da função polinomial do 2º grau abaixo:
f(x)=−x²+2x+3
Soluções para a tarefa
Resposta:
Im = {y ∈ |R | y ≤ 4}
A função cresce para valores de x no intervalo (-∞, 1).
A função decresce para valores de x no intervalo (1, ∞)
Explicação passo-a-passo:
f(x)=−x²+2x+3
Para analisar o crescimento, precisamos encontrar o vértice da função.
Os coeficientes a, b e c são:
"a" é o valor que acompanha x². -x² é o mesmo que -1x².
Então, a= -1
"b" acompanha x. b=2
"c" é o número sozinho. c=3.
a = -1
b = 2
c = 3
O ponto (x,y) do vértice é calculado pela fórmula:
x = -b/2a
x = -2/[2*(-1)]
x = -2/(-2)
x = 1
Δ = b² - 4ac
Δ = 2² -4*(-1)*3
Δ = 4 +12
Δ = 16
y= -Δ/4a
y = -16/[4*(-1)]
y = -16/(-4)
y=4
Então o ponto (x,y) do vértice é (1, 4).
Como a < 0, então a função no gráfico forma uma parábola com concavidade voltada para baixo. Isso significa que o ponto (1, 4)
é o ponto máximo da função, ou seja, o valor de y vai até, no máximo, 4.
O conjunto imagem é o conjunto de valores possíveis para y.
Então o conjunto imagem da função é
Im = {y ∈ |R | y ≤ 4}
(Traduzindo, essa resposta está dizendo que o conjunto imagem é
y que pertence ao Conjunto dos Números Reais, tal que y é menor ou igual a 4)
Como o gráfico é uma parábola com concavidade para baixo,
a função cresce (a curva sobe) até chegar no vértice (onde x=1), e depois desce. (Ver imagem abaixo)
Assim, a função cresce enquanto x é menor que 1, ou seja:
A função cresce quando x está no intervalo (-∞, 1).
A função decresce quando x está no intervalo (1, ∞)
