Question

10-Dada a matriz A abaixo, o determinante da
matriz 2A é igual a:
2 1 37
A= 1 1 1
0 1 4
(A) 40.
(B) 10.
(C) 18.
(D) 16.
(E) 36.​

Answer 1

Olá, boa noite.

Dada a matriz $A=\begin{bmatrix}2&1&3\\1&1&1\\0&1&4\\\end{bmatrix}$, devemos calcular o valor de $\det(2A)$.

Primeiro, lembre-se que dada uma matriz quadrada $B$ de ordem $n$, o determinante da matriz $\det(k\cdot B)=k^n\cdot \det(B),~k\in\mathbb{R}$.

Então, sabendo que a matriz $A$ é de ordem $3$, buscamos o valor da expressão: $\det(2A)=2^3\cdot \det(A)=8\cdot\det(A)$.

Assim, devemos calcular o determinante da matriz $A$:

$\det(A)=\begin{vmatrix}2&1&3\\1&1&1\\0&1&4\\\end{vmatrix}$

Para calcularmos este determinante, utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcula-se a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\det(A)=\begin{vmatrix}2&1&3\\1&1&1\\0&1&4\\\end{vmatrix}\begin{matrix}2&1\\1&1\\0&1\\\end{matrix}$

Aplique a Regra de Sarrus

$\det(A)=2\cdot1\cdot4+1\cdot1\cdot0+3\cdot1\cdot1-(1\cdot1\cdot4+2\cdot1\cdot1+3\cdot1\cdot0)$

Multiplique e some os valores

$\det(A)=8+0+3-(4+2+0)\\\\\\ \det(A)=5$

Substituindo este resultado na expressão que buscamos, teremos:

$\det(2A)=8\cdot5$

Multiplique os valores

$\det(2A)=40~~\checkmark$

Este é o resultado da expressão que buscávamos e é a resposta contida na letra a).