Question

10- Considere os cincos poliedros regulares, observe o quadro do exercício anterior e responda. ( Anexo )

A) Em quais deles temos V=$\frac{3}{4}$ de F?

B) Em quais deles temos F=$\frac{2}{3}$ de A?

C) Em quais deles temos F= A?



D) Em quais deles temos

2V+F+3A
_________=2
2A+7

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cíntia, que é simples.
Pela tabela dada é possível responder, com facilidade, as questões propostas.
Então vamos a elas.

a) Em quais deles temos V = (3/4)*F, ou, o que é a mesma coisa:

V = 3F/4  

Verificando cada um dos poliedros da tabela, vemos que é no octaedro em que isso se verifica, pois o octaedro tem 6 vértices e 8 faces. Então, se substituirmos, na fórmula acima, "F" por "8" iremos encontrar "6" vértices, veja:

V = 3*8/4
V = 24/4
V = 6 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a". Ou seja, a fórmula dada se aplica ao octaedro.

b) Em quais deles temos F = (2/3)*A, ou o que é a mesma coisa:

F = 2A/3

Verificando cada um dos poliedros da tabela, vemos que a fórmula acima se aplica para o tetraedro (4 faces e 6 arestas), para o dodecaedro (12 faces e 30 arestas) e para o icosaedro (20 faces e 30 arestas), pois:

- Para o tetraedro (4 faces e 6 arestas):

F = 2*6/3
F = 12/3
F = 4 <--- Veja que deu certo para o tetraedro.

- Para o octaedro (8 faces e 12 arestas):

F = 2*12/3
F = 24/3
F = 8 <--- Veja que deu certo para o octaedro.

- para o icosaedro (20 faces e 30 arestas):

F = 2*30/3
F = 60/3
F = 20 <--- Veja que deu certo para o icosaedro.

Assim, resumindo, temos que a fórmula F = 2A/3 se aplica para:

o tetraedro, o octaedro e o icosaedro <-- Esta é a resposta para a questão do item "b".

c) Em quais deles temos F = A (número de faces = número de arestas)?

Verificando cada um dos poliedros da tabela observamos que em nenhum deles se aplica a fórmula de número de faces igual ao número de arestas.
Logo:

Em nenhum dos poliedros da tabela <-- Esta é a resposta para a questão do item "c".

d) Em quais deles se verifica a seguinte expressão:

(2V+F+3A) / (2A+7) = 2 ---- vamos ver.

d.i) Para o tetraedro (4 vértices, 4 faces e 6 arestas):

(2*4 + 4 + 3*6)/(2*6 + 7) = 2
(8+4+18)/(12+7) = 2
(30)/(19) = 2 <---- Falso. Logo, não se aplica para o tetraedro.

d.ii) Para o hexaedro (8 vértices, 6 faces e 12 arestas):

(2*8+6+3*12)/(2*12+7) = 2
(16+6+36)/24+7) = 2
(58)/(31) = 2 <--- Falso. Logo, não se aplica para o hexaedro.

d.iii) Para o octaedro (6 vértices, 8 faces e 12 arestas):

(2*6+8+3*12)/(2*12+7) = 2
(12+8+36)/(31) = 2
(56)/(31) = 2 <--- falso. Logo não se aplica para o octaedro.

d.iv) Para o dodecaedro (20 vértices, 12 faces e 30 arestas):

(2*20+12+3*30)/(2*30+7) = 2
(40+12+90)/(60+7)
(142)/(67) = 2 <--- falso. Logo não se aplica para o dodecaedro.

d.v) Para o icosaedro (12 vértices, 20 faces e 30 arestas):

(2*12+20+3*30)/(2*30+7) = 2
(24+20+90)/(60+7) = 2
(134)/(67) = 2 <--- VERDADEIRO. Logo, a fórmula só se aplica para o icosaedro.

Assim, teremos que a fórmula (2V+F+2A)/(2A+7) = 2 só se aplica para o

icosaedro <--- Esta é a resposta para a questão do item "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.