Question

10-Calcule, as raízes x1 e x2 da equação: 4x2 - 2(x - 1) = x(x + 5)

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Answer 1

Resposta:

x1 = 1 / 3

x2 = 2

Explicação passo-a-passo:

Mas afinal, o que são as raízes de uma função polinomial de segundo grau? O que raios é uma equação polinomial de grau n? Polinômio vêm de poli (muitos) + nômio (monômio). Um monômio é um termo algébrico dado por

 

a * x^n tal que {a;x∈R} e {n∈N}

 

[lê-se "a multiplicado por x elevado à n tal que 'a' e 'x' pertencem ao conjuntos dos reais e 'n' pertence ao conjunto dos Naturais"]

 

DEVEMOS PRESTAR ATENÇÃO A ISTO PARA SABER SE UM TERMO É OU NÃO UM MONÔMIO. Por exemplo: a*√x³ é um monômio? Não, pois a * x√3 = a * x^(3/2) e {3/2∉N}.

 

Importante ressaltar que x^n nesta expressão está representando todas as possíveis potências de variáveis definidas nos Reais e expoentes definidos nos Naturais multiplicando este termo. Por exemplo

 

a * x^n * y^m * z^p é um monômio contanto que {a;x;y;z∈R} e {n;m;p∈N}

 

O grau de um monômio é o dado pelo maior expoente de uma variável presente no monômio.

 

Portanto uma equação polinomial de grau n é dada como uma associação dos monômios até o grau n

 

α*xº + β*x¹ + γ*x² + δ*x³ + ε*x^4 + … + φ*x^n

 

Dizemos que uma equação polinomial é de grau 0 quando seu único termo é a*xº;

Dizemos que uma equação polinomial é de grau 1 quando seus dois termos são b*xº + a*x¹;

Chamamos de função polinomial de grau 2 uma f(x) que o maior monômio tenha grau 2. Sendo de grau dois (f(x) = ax² + bx + c) teremos graficamente uma parábola que  

 

. tem concavidade voltada para cima caso a > 0 e para baixo caso a < 0;

 

. que intercepta o eixo das ordenadas (y) em F(0)

 

. que passa pelo eixo das ordenadas (y) em c e que passará (ou não) pelo eixo das abscissas (x), ou seja, que terá (ou não) raiz(es), a depender do valor de

 

b² - 4*a*c

 

que chamamos de Δ [lê-se delta]. Esta manipulação algébrica é conhecida como Fórmula de Bháskara. Este valor Δ pode nos dizer 3 coisas:

 

Δ > 0 nos diz que o polinômio tem duas raízes reais

Δ = 0 nos diz que o polinômio tem somente uma raiz real

Δ < 0 nos diz que o polinômio não tem nenhuma raiz real

 

Temos que o parábola terá um ponto Pm = (xm,ym) mínimo de y caso a > 0 ou um valor máximo de y caso a < 0 tais que Pm = (-b/2a, -Δ/4a).

 

Com o valor de Δ em mãos podemos então encontrar o valor de nossa(s) raiz(es) através da equação

 

x = (-b ± √Δ) / (2 * a)

 

Ou seja

 

x1 = (-b + √Δ) / (2 * a)

x2 = (-b - √Δ) / (2 * a)

 

Sendo x1 ≥ x2.

 

Curiosidade: só no Brasil chamamos este método de Fórmula de Bháskara, no resto do mundo é só Método para encontrar as raízes de uma equação de segundo grau mesmo. Nem sequer foi o matemático Bháskara, que viveu no século 12, quem inventou o método. Este já existia antes dele e tem sido aprimorado ao longo dos milênios por diversas culturas.

 

Enfim, vamos às contas.  

4x² - 2(x - 1) = x(x + 5)

4x² - 2x + 2 = x² + 5x

3x² - 7x + 2 = 0

a =  3

b =  -7

c =  2

Δ =  25

x1 = 1 / 3

x2 = 2

♥? ★★★★★? Melhor resposta? Você decide.  

Bons estudos. ≧◉ᴥ◉≦