Question

10) A solução da equação |x|2 - 2xl - 8 = 0é igual a
a) s = {-2,2}
b) s = {-4.4)
c) s = { -3,3}
d) s = {-4}​

Answer 1

Resposta:

Alternativa b)

Explicação passo-a-passo:

|x|²-2|x|-8=0

Chamando |x| =y

y²-2y-8=0

$\displaystyle Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~y^{2}-2y-8=0~~\\e~comparando~com~(a)y^{2}+(b)y+(c)=0,~temos~a=1{;}~b=-2~e~c=-8\\\\\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-2)^{2}-4(1)(-8)=4-(-32)=36\\\\y^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-2)-\sqrt{36}}{2(1)}=\frac{2-6}{2}=\frac{-4}{2}=-2\\\\y^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-2)+\sqrt{36}}{2(1)}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4\\\\S=\{-2,~4\}$

Para y= -2 em |x| =y

|x| = -2 => ∉ essa possibilidade

Para y= 4 em |x| =y

|x| = 4

Para x=4

|4| =4

4=4 (verdadeiro)

Para x= -4

|-4| =4

4 =4 (verdadeiro)

Answer 2

Lembre-se da definição de módulo:

$\begin{array}{l}\sf \begin{vmatrix}\sf x\end{vmatrix} \: \begin{cases}\sf x \: ,~~ \: \: \: se~~x\,\geq\,0\\\\\sf -x \: ,~~se~~x < 0\end{cases} \\ \\ \end{array}$

Temos a seguinte equação modular:

$\begin{array}{l}\sf \begin{vmatrix}\sf x\end{vmatrix}^2-2\begin{vmatrix}\sf x \end{vmatrix}-8=0\end{array}$

Pela definição de módulo, é verdade que:

• |x|² = |x| . |x| = x . x = x²
• |x|² = |x| . |x| = (–x) . (–x) = x²

, assim temos:

$\begin{array}{l}\sf x^2-2\begin{vmatrix}\sf x\end{vmatrix}-8=0\end{array}$

De acordo com a definição, vamos separar em 2 casos possíveis:

$\begin{array}{l}\begin{cases}\sf x^2-2x-8=0~~com~~x\,\geq\,0~~~~(\,I\,)\\\\\sf x^2+2x-8=0~~com~~x < 0~~~ \: ~(\,II\,)\end{cases}\\\\\end{array}$

Resolvendo ( l ) por fatoração:

$\begin{array}{l}\sf x^2-2x-8=0~\:~~com~~x\,\geq\,0\\\\\sf x^2+2x-4x-8=0\\\\\sf x(x+2)-4(x+2)=0\\\\\sf \underbrace{\sf(x+2)}_{x \: = \: -2}\cdot\underbrace{\sf(x-4)}_{x \: = \: 4}=0\end{array}$

Como a condição diz que x ≥ 0, logo x ≠ – 2. Assim x' = 4

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Resolvendo ( ll ) por fatoração:

$\begin{array}{l}\sf x^2+2x-8=0~\:~~com~~x < 0\\\\\sf x^2+4x-2x-8=0\\\\\sf x(x+4)-2(x+4)=0\\\\\sf \underbrace{\sf(x+4)}_{x \: = \: -4}\cdot\underbrace{\sf(x-2)}_{x \: = \: 2}=0\end{array}$

Como a condição diz que x < 0, logo x ≠ 2. Assim x'' = – 4

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Dessa forma o conjunto solução é:

$\large\begin{array}{l}\sf S=\Big\{-4~~;~~4 \: \Big\}\end{array}$

Letra B)

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Att. Nasgovaskov