Question

10) A progressão aritmética (73;69;65;...) é decrescente, pois sua razão é negativa. Alguns termos dessa progressão são negativos. Calcule, então, quantos termos, dessa sequência, devemos adicionar para que a soma seja negativa.​

Answer 1

Resposta:

38

Explicação passo-a-passo:

Percebe-se que a razão da progressão é igual a -4. Sabe-se que a soma dos primeiros $n$ termos da PA é dado pela fórmula $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$. Como essa soma deve ser negativa, ficamos com:

$S_n<0$

$\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}<0$

$(a_1+a_n)\cdot n<0$

Como $n$ é um número positivo, podemos dividir ambos os lados da inequação por ele sem alterar a relação:

$a_1+a_n<0$

$a_n<-a_1$

Sendo o enésimo termo da PA $a_n=a_1+(n-1)\cdot r$:

$a_1+(n-1)\cdot r<-a_1$

$(n-1)\cdot r<-2a_1$

$(n-1)\cdot (-4)<-2\cdot73$

Podemos dividir ambos os lados da desigualdade por -4 mas, como ele é negativo, invertemos a relação:

$n-1>\frac{73}{2}$

$n>1+\frac{73}{2}$

$n>\frac{75}{2}$

$n>37,5$

Aproximando para o maior inteiro, concluímos que $n=38$ é a quantidade de termos para que a soma se torne negativa.