Question

10 - A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: , onde representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial reduzida em 0,043% após 15 anos.

Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:

I. O valor da constante de proporcionalidade é .
II. A função que representa o problema descrito é .
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de .

É correto o que se afirma em:


I, II e IV, apenas.
I e II, apenas.
II, III e IV, apenas.
I e IV, apenas.
I e IV, apenas.

Answer 1

Resposta:

resposta certa ,l e ll, apenas

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

As alternativas corretas para essa questão é a I. e II., ou seja, letra b).

Equações Diferenciais de Primeira Ordem

Equações Diferenciais de Primeira Ordem são equações diferenciais que possuem ordem da derivada igual a 1.

Para ser resolvida essa equação, pode ser utilizado o método de equações separáveis, onde é encontrada a seguinte expressão:

$P(x)dx=Q(y)dy$

Onde:

• P(x) é a parte em relação a x;
• Q(y) é a parte em relação a y;

Para iniciar essa questão, iremos realizar, inicialmente, a equação diferencial:

$\frac{dQ}{dt}=KQ\\\\\frac{dQ}{Q}=Kdt\\\\\ \int \frac{dQ}{Q}=\int Kdt$

Integrando ambos lados e realizando as operações necessárias:

$ln(Q)=Kt\\\\e^{ln(Q)}=e^{Kt}\\\\Q=e^{Kt}$

(Observação: foi desconsiderada a constante relacionada a resolução das integrais)

Agora, vamos verificar cada uma das alternativas:

I. Está correta. Foi colocado o problema de valor inicial para ser estimado o valor da constante K.

Inicialmente, isola-se o K:

$ln(Q)=Kt\\\\K=\frac{ln(Q)}{t}$

Utilizando a propriedade dos logaritmos:

$K=ln(Q)^{\frac{1}{t}$

Substituindo os dados:

$Q= (1-0,00043)Q_o=0,99957$

$Q_oK=ln(0,99957Q_o)^{\frac{1}{15}$

II. Está correta. Substituindo K na equação:

$Q=e^{ln(0,99957Q_o)^{\frac{1}{15}t}\\\\Q=(0,99957Q_o)^{\frac{1}{15}t}$

III. Está incorreta. Para descobrir o tempo de meia vida, pode-se realizar a seguinte verificação:

$0,5Q_o=0,999957Q_{o}^{\frac{t}{15}}\\\\ ln(0,5)=ln(0,999957)^{\frac{t}{15}}\\\\\frac{ ln(0,5)}{ln(0,999957)}*15=t\\\\t=24.174anos$

IV. Está incorreta. A quantidade existente é:

$Q= (1-0,00043)Q_o=0,99957Q_o$

Logo, a resposta para a questão é a letra b).

Para aprender mais sobre Equação Diferencial Ordinária, acesse:brainly.com.br/tarefa/16599601?referrer=searchResults

#SPJ2