Question

10.

A construção da Usina Hidrelétrica de Itaipu no rio Paraná, na fronteira entre o Brasil e o Paraguai, iniciou-se na década de 1970, mais precisamente em Janeiro de 1975. Nesta época, não existiam ferramentas computacionais para representar os desenhos referentes à planta de construção da usina e nem para realizar cálculos com tamanha exatidão e rapidez. Na época, a importância dos matemáticos era grande e foi necessária a atuação de um deles para a determinação do comprimento correto da barragem da usina. Sabe-se geometricamente, através do desenho da planta da usina, constatou que a função matemática que mais se aproximava da curva representativa da barragem da Usina era f(x) = ln (cos x) em que f(x) é dado em km. Com base nessas informações, qual das alternativas representa o valor provável do comprimento da barragem da usina, sabendo-se que o valor de x da função f(x) varia de pi/6 a pi/4?


a) 0,5493 km.


b) 0,6640 km.


c) 0,3320 km.


d) 0,8813 km.

resposta item C

Answer 1

Resposta:

0,332 Km

Explicação passo-a-passo:

A questão está um pouco mal escrita, mas aparentemente temos que calcular o comprimento do gráfico da função f no intervalo [π/6, π/4]. Vou fazer usando integrais simples, mas você também pode fazer usando integrais de linha. Relembramos que o comprimento de uma curva f  no intervalo [a,b] é dado pela integral

$\displaystyle \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} \, dx$

E no nosso problema temos f'(x) = -sen(x) / cos(x) = -tan(x). Logo, o comprimento é

$\displaystyle \int_{\pi/6}^{\pi/4} \sqrt{1 + \tan(x)^2} \, dx$

Já que tan²(x) + 1 = sec²(x), ficamos com

$\displaystyle \int_{\pi/6}^{\pi/4} \dfrac{1}{\cos x} \, dx$

A integral de sec(x) é ln(tan(x) + sec(x)) + C. Essa integral não é muito direta, mas como tem feito em diversos locais, vou omitir. Daí a resposta será

$-\ln( \tan 30^\circ + \sec 30^\circ) + \ln(\tan 45^\circ+\sec 45^\circ) = \\[3ex]-\ln( \sqrt 3 ) + \ln( 1+ \sqrt 2) \approx 0,332$