Question

1/x-1/x+2>=0 algm me ajuda por favor :((

Answer 1

Resposta:

$S=\{x\in\mathbb{R}:x<-2\;\;\text{ou}\;\;x>0\}=]-\infty,-2[\;\;\bigcup\;\;]0,+\infty[.$

Explicação passo-a-passo:

Olá!

      Resolver uma desigualdade é encontrar os valores de x para os quais ela é satisfeita.

      Lembre que tudo o que for feito em um dos lados da desigualdade, deverá ser feito simultaneamente no outro lado, para não alterá-la. E ao multiplicarmos os membros de uma desigualdade por qualquer valor negativo, ela se inverte.

   Vamos primeiramente juntar as frações (utilizar o mmc para a soma das frações).

$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{1\cdot (x+2)-1\cdot(x)}{x(x+2)}\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{x+2-x}{x(x+2)}\geqslant 0\Leftrightarrow\\ \\ \\\Leftrightarrow \dfrac{2}{x(x+2)}\geqslant0.$

   Agora lembre que numa fração (que representa uma divisão) teremos o resultado positivo quando numerador e denominador tiverem o mesmo sinal. Como o numerador é constante e igual a 2, que é positivo, para que a fração seja positiva deveremos ter o denominador também positivo. Logo,

$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{2}{x(x+2)}\geqslant 0\Leftrightarrow x(x+2)>0.$

Observe aqui que não poderemos ter "maior ou igual" a zero, pois trata-se de uma expressão que está no denominador e, assim, jamais poderá se anular. Lembre também que   $x(x+2)=x^2+2x=0$   representa uma função quadrática (função do segundo grau) que se anulará nos valores de suas raízes   $x=0\;\;\text{e}\;\;x=-2,$  e tem como gráfico uma parábola com a "boca" para cima (pois o termo que acompanha o   $x^2$  é positivo). E ainda mais, entre as suas raízes, a função é negativa, e antes da menor raiz e depois da maior raiz, ela será positiva. Ou seja, teremos o seguinte:

$x(x+2)>0\Leftrightarrow x^2+2x>0\Leftrightarrow x<-2\;\;\text{ou}\;\;x>0.$

   Portanto, a solução é o conjunto S a seguir

$S=\{x\in\mathbb{R}:x<-2\;\;\text{ou}\;\;x>0\}=]-\infty,-2[\;\;\bigcup\;\;]0,+\infty[.$

Bons estudos!