Question

1/x-1; n=4 (derivadas sucessivas)

Answer 1

Sua notação está ambígua. 1/x-1 pode significar tanto

$\frac{1}{(x-1)}$

como

$\frac{1}{x} -1$

Vou supor que se trata da primeira opção. Nesse caso, a propósito, a notação apropriada seria 1/(x-1). Enfim, vamos lá.

Seja $f(x) = \frac{1}{x-1} , x \in \bold{R} - \{ 1 \}$. Podemos escrever a função como

$f(x) = (x-1)^{-1}$

Para encontrar a primeira derivada, fazemos $x - 1 = u$. Portanto,

$y = u^{-1}$

e a derivada será dada por

$f'(x) = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \ \text{(I)}$

onde dy/du é dado por

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^{-1}) = -u^{-2}$

mas $u = x - 1$, portanto,

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -(x-1)^{-2} \ \text{(II)}$

Em seguida, buscamos du/dx:

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x - 1) = 1 \ \text{(III)}$

Com os resultados (II) e (III), podemos retornar à equação (I) e obter f'(x).

$f'(x)= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = -(x-1)^{-2}\ \times 1 = -(x-1)^{-2}$

Para obter a segunda derivada, basta substituir $u = x -1$ outra vez e, novamente, recorrer à fórmula 

$f''(x) = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \ \text{(IV)}$

Nesse caso, teremos 

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(-u^{-2}) = 2u^{-3} = 2(x-1)^{-3}$

e, como obtivemos anteriormente, 

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x-1) = 1$

Substituindo em (IV), resulta

$f''(x) = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = 2(x-1)^{-3} \times 1 = 2(x-1)^{-3}$

Aplique a equação (IV) outra vez para obter a terceira derivada de x.

$f^{(III)} (x) = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = \frac{d}{du}(2u^{-3}) \times \frac{d}{dx}(x-1) \\ f^{(III)} (x) =-6[x-1]^{-4} \times 1 = -6(x-1)^{-4}$

E, finalmente, para a quarta derivada,

$f^{(IV)} (x) = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = 24(x-1)^{-5} \times 1 = 24(x-1)^{-5}$