Question

1 — Você já ouviu falar de Tales de Mileto? Vamos conhecer um pouco da história...
O que você acha de conhecermos um pouco mais o famoso Teorema de Tales? Vamos lá?
2 — Vamos descobrir juntos uma das contribuições de Tales de Mileto para a Geometria:
I. Desenhe três retas paralelas
II. Corte essas retas com duas retas transversais t e u:
III. Marque os pontos de intersecção entre as retas: K, L, M na reta t nessa ordem e N, O, P na
reta u, nessa ordem, para identificar esses segmentos.

IV. Agora é com você. Meça, usando uma régua, os segmentos formados entre essas retas e
registre a medida ao lado de cada uma delas:
V. Agora que você já tem as medidas dos segmentos e seus pontos devidamente identificados,
faça as seguintes verificações substituindo pelos valores dos segmentos e encontre a razão
entre eles.

KL
LM =
NO
OP
=
a) Compare as duas frações obtidas. O que podemos afirmar sobre elas?
b) Tente enunciar o Teorema de Tales.
Foi essa propriedade que Tales percebeu
Os segmentos são proporcionais!

3 — As retas r, s e v são retas paralelas cortadas pelas transversais t e u. Sabendo que os segmentos
KL, LM e NO medem 5 cm, 10cm e 15cm, respectivamente, calcule a medida do segmento OP..
Observe! É possível encontrar a mesma solução de diferentes formas. Nas resoluções abaixo
representamos o segmento OP com a letra x.
5
10
=
15
x
5x = 10 × 15
5x = 150
x =
150
5
x = 30 cm
10
5
=
x
15
5x = 10 × 15
5x = 150
x =
150
5
x = 30 cm
5 + 10
10
=
15 + x
x
150x + 10x = 5x + 10x
10x — 5x — 10x = —150
—5x = —150x (—1)
x =
150
5
x = 30 cm
•  Se entendemos que os segmentos são proporcionais, o segmento formado entre as retas r e s
são 5cm e 15 cm.
•  Logo 15 é o triplo de 5.
•  Então os segmentos formados entre as retas s e v também são um o triplo do outro.
•  Logo, x é o triplo de 10. Então x é igual a 30 cm!
Agora aprendemos que um feixe de retas paralelas determina, sobre duas transversais,
segmentos de retas proporcionais.

4 — Agora é com você.
A figura abaixo é formada por um feixe de retas paralelas cortadas por transversais. Encontre o
valor que determina a medida do segmento representado pela letra x.
5 — Utilizando o Teorema de Tales, determine o valor de x na figura abaixo.
6 — A figura abaixo apresenta quatro retas paralelas r, s, t e u, que determinam, sobre uma
transversal a, segmentos de reta de medidas 4 cm, 6 cm e 8 cm e, sobre uma reta transversal b,
os segmentos de reta de medidas x, y e z, cuja a soma é igual a 54 cm.
Calcule a medida de cada um dos segmentos de reta x, y e z determinados sobre a reta b.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:=

$\frac{}{} \frac{KL}{LM}=\frac {1,42}{2,84}=\frac{1}{2}$

$\frac{NO}{OP}=\frac{1,46}{2,92} =\frac{1}{2}$

a)As duas frações são equivalentes, pois ambas tem a mesma razão = 1/2

b)Um feixe de retas paralelas determina,em duas retas transversais quaisquer ,segmentos proporcionais

3)$\frac{5}{10}= \frac{15}{x}$

$5x=10.15 \\5x=150\\x=150/5\\\\x=30$

4)

$\frac{10}{14} =\frac{15}{x} \\10x=14.25\\10x=350\\x=35 cm$

5)

$\frac{x}{7} =\frac{9}{5} \\ 5x=7.9\\5x=63\\x=12,6$

6)

$x,y,z=54 / 8+6+4=18\\6=18:3\\y=54:3\\y=18 cm\\\\18=6.3\\x=4.3\\x=12 cm\\\\z=8.3\z=24 cm$

Answer 2

As questões abordam sobre Geometria Plana com foco no Teorema de Tales e conceitos relacionados à semelhança entre triângulos.

Para fim de organização, as resoluções serão apresentadas em partes.

(1) Tales de Mileto foi um grande matemático reconhecido no século 6 a.C. Suas pesquisas e descobertas no campo da matemática o tornaram considerado o pai da geometria descritiva.

Além da matemática, Tales também é considerado um filósofo e astrônomo. Aliás, todo homem que a época se dedicava ao estudo do nosso mundo e os infinitos processos que ocorrem nele era chamado de filósofo.

Sua sabedoria se espalhou por muitas regiões, chegando ao Egito.  A história conta que os egípcios então o convidaram para medir a altura da pirâmide de Quéops, o que era uma conquista quase impossível para a época, dado a falta de equipamentos para tal.

Tales mediu com sucesso a altura dessa pirâmide usando um método conhecido que hoje leva seu nome. Para desenvolver esta façanha, ele usou da sombra resultante

que o sol fazia sobre uma vareta e as noções de proporcionalidade entre lados de triângulos semelhantes.

Se, de fato, a história é verdadeira, não sabemos. Contudo, a certeza que se tem é que Tales contribuiu muito para a matemática e a ciência como ela é hoje.

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(2) Para realizar esta tarefa você precisará de uma folha branca, lápis e uma régua.

I. Comece traçando três retas paralelas quaisquer, sem necessidade, por exemplo, que elas tenham a mesma distância entre si.

Observe um exemplo (chamei-as de r, s e t):

______________________________ r

______________________________ s

______________________________ t

II. Corte essas retas com duas retas transversais t e u também como quiser. O importante é que as retas tenham interseção com as retas r, s e t.

Exemplo:

                   t   /            u |

__________/________|_____________ r

_________/_________|____________ s

                /                      |

_______/___________|____________ t

            /                          |

III. Marque os pontos de intersecção como indicado: K, L, M na reta t nessa ordem e N, O, P na  reta u, nessa ordem, para identificar esses segmentos.

Sua figura ficará parecida com esta:

                     t   /           u |

                       /                |

_________K/_______N|_____________ r

________L/________O|____________ s

                /                       |

_____M/___________P|____________ t

            /                            |

IV. Meça, usando uma régua, os segmentos formados entre essas retas e

registre a medida ao lado de cada uma delas. Observe que estas medidas, obviamente, se diferem de desenho para desenho.

Por exemplo, suponha que no meu desenho:

KL = 2,5 cm            NO = 2 cm

LM = 5 cm              OP = 4 cm

V. Faça a verificação do teorema de Tales:

"Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais segmentos proporcionais."

Para tal, observe que:

KL / LM = NO / OP

2,5 / 5 = 2 / 4

1 / 2 = 1 / 2

Obs: No seu desenho, obviamente, você encontrará outros valores. Contudo, o importante é verificar que a razão entre segmentos proporcionais é a mesma.

(a) Ambas as frações equivalem ao mesmo decimal. No meu caso, 0,5 = 0,5.

(b) Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais segmentos proporcionais.

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(3) Para tal, basta usar do teorema que você observou na questão anterior. Fazendo as relações de proporcionalidade entre segmentos proporcionais:

KL / LM = NO / OP

5/10 = 15/OP

Isolando OP:

OP = $\frac{15 \cdot 10}{5}$

OP = 30

Logo, a medida do segmento OP é 30cm.

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(4) Novamente, basta aplicar o teorema de Tales. Escrevendo as relações de proporcionalidade entre segmentos proporcionais:

10 / 14 = 25 / x

Isolando x:

x = $\frac{25 \cdot 14}{10}$

x = 35

Logo, a medida do segmento representado por x é 35 cm.

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(5) Outro exercício para aplicar o teorema de Tales. Novamente,

7 / x = 5 / 9

Isolando x:

x = $\frac{7 \cdot 9}{5}$

x = 12,6

Logo, a medida do segmento representado por x é 12,6 cm.

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(6) Mais um exercício para aplicar o teorema de Tales. A diferença é que  agora temos um feixe com 4 retas paralelas. Contudo, o método funciona da mesma forma.

Segue que,

Para encontrar x:

4 / (4+6+8) = x / 54

Simplificando:

$\frac{4}{18}=\frac{x}{54}$    ⇒   $x = \frac{4 \cdot 54}{18}=12$

Para encontrar y:

6 / (4+6+8) = y / 54

Simplificando:

$\frac{6}{18}=\frac{y}{54}$    ⇒   $y = \frac{6 \cdot 54}{18}=18$

Para encontrar z:

8 / (4+6+8) = z / 54

Simplificando:

$\frac{8}{18}=\frac{z}{54}$    ⇒   $z = \frac{8 \cdot 54}{18}=24$

Logo, x = 12, y = 18 e z = 24.

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