Question

1) Verifique se as sentenças são falsas ou verdadeiras:

a) (a. b)⁶ = a⁶.b⁶

b) (a - b)⁶ = a⁶ - b⁶

b)(a + b)⁶ = a⁶ + b⁶

d) (a + b)⁰ = 1​

Answer 1

Solução

a) Verdadeiro.

b) Falso.

c) Falso.

d) Verdadeiro.

Resolução detalhada

Para resolvermos o exercício, devemos nos atentar para algumas propriedades da potenciação e para o estudo do binômio de Newton, por exemplo.

a) $(a . b)^6=a^6.b^6$

Verdadeiro.

Existe uma propriedade da potenciação que devemos ter em mente:

$(a.b)^n=a^n.b^n$, para $a$, $b$ e $n$ números reais quaisquer diferentes de zero.

Se admitirmos $n=6$, temos a seguinte igualdade:

$(a.b)^6=a^6.b^6$

b) $(a-b)^6=a^6-b^6$

Falso.

Veja abaixo duas soluções diferentes que você pode usar.

1ª maneira: Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal

Para sabermos se o item b é falso, devemos conhecer o binômio de Newton e o Triângulo de Pascal, que é um triângulo infinito de números. Os números de cada linha do triângulo são os coeficientes de um determinado binômio de Newton, que é da forma $(a+b)^n$, com $a$ e $b$ números reais e $n$ um número natural qualquer.

É importante ter em mente que podemos escrever $(a-b)^6$ como $(a+(-b))^6$, para termos um binômio do formato $(a+b)^n$. A sétima linha do triângulo de Pascal representa os seguintes coeficientes do binômio de expoente 6:

1     6     15     20     15     6     1

Os coeficientes acima acompanham as variáveis $a$ e $b$ da expressão.

Teríamos, portanto, a seguinte situação:

$(a-b)^6=a^6-6a^5b+15a^4b^2-20a^3b^3+15a^2b^4-6ab^5+b^6,$

que comprova que $(a-b)^6=a^6-b^6$ é uma afirmação falsa.

2ª maneira: propriedade da Potenciação

Existe uma propriedade da potenciação que representa a potência de uma potência. Para $x$, $m$ e $n$ números reais quaisquer diferentes de zero, temos:

$x^{m.n} =(x^{m})^{n}$

Adotando $m=2$ e $n=3$, já que $m.n=2.3=6$, e que $x=a-b$, teríamos $((a-b)^m)^n=((a-b)^2)^3$, que, se desenvolvermos, resultará na mesma expressão que obtivemos na 1ª maneira.

c) $(a+b)^6=a^6+b^6$

Falso.

Embora várias maneiras de resolver o problema, veja abaixo duas rápidas.

1ª maneira: Binômio de Newton e Triângulo de Pascal

Como vimos no item b do exercício, o binômio de Newton e o triângulo de Pascal auxiliam juntos na resolução de questões como estas, onde o desenvolvimento de um determinado binômio é necessário.

Já sabemos, para grau 6 de binômio, os seus coeficientes:

1     6     15     20     15     6     1

E como não há sinal de subtração, tudo será somado da seguinte forma:

$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6,$

que comprova que $(a+b)^6=a^6+b^6$ é uma afirmação falsa.

2ª maneira: propriedade da Potenciação

Adotemos a mesma propriedade comentada na 2ª maneira de resolver o item b: $x^{m.n}=(x^{m})^{n}$, com $m=2$, $n=3$ e $x=a+b$. Assim, temos:

$((a+b)^m)^n=((a+b)^2)^3$, que, quando desenvolvida, resulta no mesmo resultado da 1ª maneira.

d) $(a+b)^0=1$

Verdadeiro.

Existe uma propriedade da potenciação que revela que qualquer número elevado a zero resulta em um. Então, para $x$ um número real qualquer, se tem $x^0=1$.

Se adotarmos $x=a+b$, teríamos $(a+b)^0=x^0=1$.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo:

a) Verdadeiro.

b) Falso.

c) Falso.

d) Verdadeiro.