Question

1) Veja o enunciado abaixo e faça o que se pede: *
1 ponto
Imagem sem legenda
a) a função s é injetora
b) a função s não é sobrejetora
c) a função s é bijetora
d) a função s é sobrejetora e não é injetora

Answer 1

Resposta:

1) - d) a função s é sobrejetora e não é injetora

2) - a) Im = {0, 1, 2, 3}

Explicação

confia

Answer 2

(d) a função $s$ é sobrejetora e não é injetora

A questão aborda conceitos sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade de uma função. Antes de mostrar como a solução se apresenta, vamos relembrar esses conceitos.

⇒ Uma função $f:A \rightarrow B$ é dita injetiva (ou injetora) se as seguinte condição for satisfeita:

       $\forall \hspace{1mm} x_{1}, x_{2} \in A, x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f( x_{1} ) \neq f(x_{2})$

       Traduzindo para a linguagem comum: se as entradas da função são distintas, as saídas (imagens) relativas à essas entradas também são distintas.

⇒ Uma função $f:A \rightarrow B$ é dita sobrejetiva (ou sobrejetora) se, para todo $y \in B$, existir um $x \in A$  tal que $f(x)=y$; em símbolos:

       $\forall \hspace{1mm} y \in B,$ existe $x \in A$ tal que $y=f(x)$

       Ou seja, todos os elementos do contradomínio da função são imagens de algum elemento do domínio.

⇒ Uma função é dita bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Dado a revisão, podemos agora avaliar a função $s$ que traz a tarefa.

Observe primeiramente que a função $s$ é uma função por partes definida no conjunto dos Naturais. Ou seja, tem uma lei definida para cada parte do domínio.

• Se $x$ (a entrada da função) é um número par, $f(x)$ (sua saída) vale a metade dessa entrada ($x/2$).

• Se $x$  é um número ímpar, $f(x)$  vale $\frac{x+1}{2}$.

Pode-se verificar que esta função não é injetiva. De fato,

$f(1)=\frac{1+1}{2} =\frac{2}{2} =1$       e,

$f(2)=\frac{2}{2} =1$

Dois valores de entrada da função (1 e 2) tem a mesma saída (1).

Por outro lado, essa função é sobrejetora. Para tal, basta observar que  qualquer valor natural $y$ do contradomínio é imagem de certo $x$, escolhendo-se  $x=2y$. Nesse caso, como $2y$ é par, $f(2y)=y$ como queríamos demonstrar.

Concluindo: A função $s$ é sobrejetora e não é injetora (item d).

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