Question

1) (Valor 0,3) Avalie as integrais apresentadas aplicando a técnica de integração por substituição.a)b)c)2) (Valor 0,2) Aplique a integral por partes para determinar a primitiva da seguinte função:

Answer 1

1) a) $f(x) = \int (x^3+10)^54x^2dx$.

Vamos considerar que u = x³ + 10.

Então, du = 3x²dx. Ou seja, $\frac{du}{3}=x^2dx$.

Assim, pelo método da substituição simples, temos que a integral é igual a:

$\int (x^3+10)^54x^2dx = \int u^5.\frac{4}{3}du = \frac{u^6}{6}.\frac{4}{3} + c = \frac{4(x^3+10)^6}{18} + c = \frac{2(x^3+10)^6}{9}+c$.

b) $f(x) = \int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+5}}dx$.

Vamos considerar que u = x³ + 5.

Então, du = 3x²dx ∴ $\frac{du}{3}=x^2dx$.

Logo, pelo método da substituição simples, temos que a integral é igual a:

$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+5}}dx = \int \frac{du}{3\sqrt{u}}=\frac{2\sqrt{u}}{3}+c = \frac{2\sqrt{x^3+5}}{3}+c$.

c) $f(x) = \int 2xe^{x^2+5}dx$.

Vamos considerar que u = x² + 5. Então, du = 2xdx.

Portanto, pelo método da substituição simples, temos que a integral é igual a:

$\int 2xe^{x^2+5}dx = \int e^udu = e^u + c = e^{x^2+5}+c$.

2) $f(x) = \int xe^{3x}dx$.

Para resolver essa integral, precisamos utilizar o método da substituição por partes:

∫u.dv = u.v - ∫v.du

Então,

u = x

du = dx

v = $\frac{e^{3x}}{3}$

dv = $e^{3x}dx$.

Portanto,

$\int xe^{3x}dx = x.\frac{e^{3x}}{3} - \int \frac{e^{3x}}{3}dx$

$\int xe^{3x}dx = \frac{xe^{3x}}{3}-\frac{e^{3x}}{9} + c$.