Question

1) (Valor 0,3) Avalie as integrais apresentadas aplicando a técnica de integração por substituição.

a)

b)

c)

2) (Valor 0,2) Aplique a integral por partes para determinar a primitiva da seguinte função:

Answer 1

1) a) f(x) = ∫(x³ + 10)⁵.4x²dx

Como o 4 está multiplicando todos dentro da integral, então podemos reescrevê-la da seguinte maneira:

∫(x³ + 10)⁵.4x²dx = 4∫(x³ + 10)⁵.x²dx

Utilizando o método da substituição simples, obtemos:

u = x³ + 10

du = 3x²dx ∴ $\frac{du}{3} = x^2dx$

Então,

$\int (x^3+10)^5.4x^2 \,dx= 4\int \frac{u^5}{3}du = \frac{4}{3}.\frac{u^6}{6} = \frac{4}{18}(x^3+10)^6 + c = \frac{2}{9}(x^3+10)^6 + c$.

b) $f(x) = \int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+5}}dx$

Pelo método da substituição simples:

u = x³ + 5

du = 3x²dx ∴ $\frac{du}{3}=x^2dx$.

Logo,

$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+5}}dx = \frac{1}{3} \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{3}.2\sqrt{u} + c = \frac{2\sqrt{x^3+5}}{3} + c$.

c) $f(x) = \int 2xe^{x^2+5}dx$

Pelo método da substituição simples:

u = x² + 5

du = 2xdx

Logo,

$\int 2xe^{x^2+5}dx = \int e^{u}du = e^{u} + c = e^{x^2+5}+c$.

2) Utilizando o método de integração por partes, temos que:

u = x

du = dx

$dv=e^{3x}dx$

$v=\frac{e^{3x}}{3}$.

A integral por partes é definida por:

∫u.dv = u.v - ∫v.du

Logo,

$\int x.e^{3x}dx = x.\frac{e^{3x}}{3} - \int \frac{e^{3x}}{3}dx$

$\int x.e^{3x}dx = \frac{xe^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} + c$