Question

1) (Valor 0,3) Avalie as integrais apresentadas aplicando a técnica de integração por substituição.

a)


b)


c)


2) (Valor 0,2) Aplique a integral por partes para determinar a primitiva da seguinte função:

Answer 1

1) a) ∫ (x³ + 10)⁵.4x² dx.

Como o 4 está multiplicando todos dentro da integral, então podemos dizer que:

4∫x²(x³ + 10)⁵ dx.

Para integrar, utilizaremos a substituição simples, ou seja,

u = x³ + 10

du = 2x² dx ∴ $\frac{du}{2}=x^2dx$.

Então, temos que:

$\int\ {(x^3+10)^5.4x^2} \, dx = \frac{4}{2} \int\ {u^5} \,du = 2 \int\ {u^5} \, du = 2.\frac{u^6}{6} + c = \frac{(x^3+10)^6}{3} + c$.

b) $\int\ {\frac{x^2}{\sqrt{x^3+5}}} \, dx$.

Vamos utilizar a seguinte substituição:

u = x³ + 5

du = 3x²dx ∴ $\frac{du}{3}=x^2.dx$.

Então,

$\int\ {\frac{x^2}{\sqrt{x^3+5}}} \, dx = \frac{1}{3} \int\ {\frac{du}{\sqrt{u}}} = \frac{1}{3}.2\sqrt{u} + c = \frac{2\sqrt{x^3+5}}{3}+c$.

c) $\int\ {2xe^{x^2+5}} \, dx$

Vamos utilizar a seguinte substituição:

u = x² + 5

du = 2xdx.

Assim,

$\int\ {2xe^{x^2+5}} \, dx =\int\ {e^u} \, du=e^u + c = e^{x^2+5} + c$.

2) Para integrarmos $\int {xe^{3x}} \, dx$, vamos utilizar a integração por partes.

Sendo assim, temos que:

u = x ∴ du = dx

dv = $e^{3x}dx$ ∴ v = $\frac{e^{3x}}{3}$.

Sabemos que a integração por partes é definida por:

∫u.dv = u.v - ∫v.du

Assim,

$\int {xe^{3x}} \, dx  = x.\frac{e^{3x}}{3} - \int {\frac{e^{3x}}{3}} \, dx$

$\int {xe^{3x}} \, dx =\frac{xe^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} + x$.