Question

1) Utilizando o teorema de Pitágoras, calcule o valor de x.
Em um retângulo cujos lados medem 3cm e 4cm, determine a medida da diagonal.



2)Calcule o valor de x na situação a seguir,
Um triângulo retângulo cujos catetos medem x e 3 e a hipotenusa mede (x + 1)



3) Quando o ângulo de elevação do Sol é de 60°, a sombra de uma árvore mede 15m. Calcule a altura da árvore, considerando 3=1,7.



4) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Depois de percorrer 8km, o avião se encontra a uma altura de:
a) 2 km
b) 3 km
c) 4 km
d) 5 km

Answer 1

Resposta:

1) A diagonal (hipotenusa) é igual a 5.

2) A hipotenusa vale 5 e o outro cateto vale 4.

3) A altura da árvore é 25 metros.

4) Depois de voar 8km o avião vai estar em uma altura de 4.61 km.

Explicação passo a passo:

1)

Teorema de Pitágoras: a² = b² + c², onde a é a hipotenusa (diagonal), b é o cateto adjacente e c é o cateto oposto.

Agora é só substituir na fórmula:

a² = b² + c²

a² = 4² + 3²

a² = 16 + 9

a² = 25

√a = √25

a = 5

∴ A diagonal (hipotenusa) é igual a 5.

2)

a = x + 1

b = 3

c = x

Aplicando na fórmula:

a² = b² + c²

(x + 1)² = 3² + x²

Observe que o (x+1) é um quadrado perfeito então é só usarmos a fórmula e expandir:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(x + 1)² = x² +2x + 1

Continuando no Teorema de Pitágoras:

x² + 2x + 1  = 3² + x²

x² + 2x + 1  = 9 + x²

x² + 2x +  = 9 - 1 + x²  (passando o 1 para o outro lado subtraindo)

x² + 2x +  = 8 + x²

2x +  = 8 + x² - x² (passando o x² para o outro lado subtraindo)

2x +  = 8

x  = $\frac{8}{2}$ (passando o 2 para o outro lado dividindo)

x = 4

Se x = 4, então o outro cateto vale 4 e a hipotenusa vale x + 1 = 5.

∴ A hipotenusa vale 5 e o outro cateto vale 4.

3)

A primeira coisa que você precisa pensar é em um triângulo retangulo.

A árvore será o cateto oposto (o lado que fica de pé no retângulo). Já a sombra da árvore será o cateto adjacente, já que está na base (deitado).

Sendo assim, temos uma relação entre catetos.

Fórmula da relação entre catetos: Tg∅ $=\frac{CO}{CA}$

Agora vamos substituir na fórmula:

Tg60° $=\frac{CO}{CA}$  (a elevação do sol é o grau de inclinação, então substituímos ficando tangente de 60 graus)

Tg60° $=\frac{x}{15}$ (como a gente quer descobrir a altura da árvore (cateto oposto) é vamos substituir por x e o cateto adjacente que é a sombra sabemos que vale 15 metros)

$\sqrt{3}$ $=\frac{x}{15}$ (Tg60° = $\sqrt{3}$ = 1,7 )

1,7  $=\frac{x}{15}$

1,7 · 15 = x (passando o 15 para o outro lada multiplicando)

x = 25,5

∴ A altura da árvore é 25 metros.

4)

Aqui temos um problema igual ao anterior. Então vamos usar a mesma fórmula.

Tg∅ $=\frac{CO}{CA}$  

Tg30° $=\frac{CO}{CA}$  

Tg30° $=\frac{x}{8}$  

$\frac{\sqrt{3} }{3}$ $=\frac{x}{8}$   (tangente de 30° = $\frac{\sqrt{3} }{3}$)

x = $\frac{8\sqrt{3} }{3}$

x = 4.61

∴ Depois de voar 8km o avião vai estar em uma altura de 4.61 km.