Question

1) Utilizando as regras de interferências, prove os seguintes argumentos, chegando na conclusão desejada. i) Se Maria disse a verdade, João mentiu e Carlos também mentiu. Se Carlos mentiu, Regina falou a verdade. Se Regina falou a verdade, então Lógica Matemática é difícil. Ora, Lógica Matemática não é difícil. Logo, podemos concluir que Maria mentiu a Regina também mentiu. (200 pontos) j) A condição necessária para eu ir a aula amanhã é eu acordar cedo amanhã. Se eu for a festa hoje à noite eu ficarei lá até tarde. Se eu ficar até tarde na festa e acordar cedo amanhã eu sou forçado a dormir apenas 5 horas. Eu simplesmente não posso dormir somente 5 horas. Por isso eu tenho que perder a aula de amanhã ou deixar de ir a festa hoje. (200 pontos)

Answer 1

Vamos provar cada um dos argumentos. Antes de tudo, formalizaremos eles. Colocarei na ordem:

1. p ⇒ (q ∧ r) (Se Maria disse a verdade, João mentiu e Carlos também mentiu)

2. r ⇒ s (Se Carlos mentiu, Regina falou a verdade)

3. s ⇒ m (Se Regina falou a verdade, então Lógica Matemática é difícil)

4. ¬m (Lógica Matemática não é difícil)

5. ¬p ∧ ¬s (conclusão de que Maria e Regina mentiram se segue?)

Antes de tudo, tomaremos as quatro primeiras frases como premissas (P do lado de cada sentença), como nos foi dado, e tentaremos chegar à conclusão.

1. p ⇒ (q ∧ r) P

2. r ⇒ s P

3. s ⇒ m P

4. ¬m P

5. ¬s 3,4 MODUS TOLLENS

Chegamos ao fato de que Regina mentiu, mas precisamos chegar no fato de que é mentira de Maria também.

6. ¬r 2,5 MODUS TOLLENS

Agora, precisamos reduzir a sentença p ao absurdo para negarmos ela e fazermos conjunção entre ela e a sentença 4.

Sugerimos por hipótese que p é correta

7. p HIPÓTESE

8. (q ∧ r) 1,7 MODUS PONENS

9. r 8 SEPARAÇÃO DE CONJUNÇÃO

10. (r ∧ ¬r) 6,9 CONJUNÇÃO

11. ¬p 10 REDUÇÃO AO ABSURDO

12. (¬p ∧ ¬s) 5, 11 CONJUNÇÃO

Portanto, conclui-se que Regina e Maria mentiram. Formalizaremos o outro exercício

1. (p ⇒ q) (Se vou pra aula, então acordo cedo)

2. (r ⇒ s) (Se eu for a festa hoje à noite. eu ficarei lá até tarde)

3. ((s ∧ q) ⇒ t) (Se eu ficar até tarde na festa e acordar cedo amanhã eu sou forçado a dormir apenas 5 horas)

4. ¬t (Eu simplesmente não posso dormir somente 5 horas)

5. (¬p ∨ ¬r) ou ¬(p ∧ r) (conclusão que se segue? "por isso eu tenho que perder a aula de amanhã ou deixar de ir a festa hoje")

Novamente, vamos tentar derivar a última fórmula por regras de inferência.

1. (p ⇒ q) P

2. (r ⇒ s) P

3. ((s ∧ q) ⇒ t) P

4. ¬t        P

5. (p ∧ r) HIPÓTESE

6. p 5 SEPARAÇÃO

7. r 5 SEPARAÇÃO

8. q 1,6 MODUS PONENS

9. s 2,7 MODUS PONENS

10. (s ∧ q) 8,9 CONJUNÇÃO

11. t 3,10 MODUS PONENS

12. (t ∧ ¬t) 4,11 CONJUNÇÃO

13. ¬(p ∧ r) 5-12 REDUÇÃO AO ABSURDO/FECHA HIPÓTESE.

14. (¬p ∨ ¬r) 13 DE MORGAN

Portanto, segue-se a conclusão.