Question

1) use comparação para provar que Σ ln n/n diverge
2) use comparação para provar que Σ 1/lnn diverge

Answer 1

1) Sabemos que

$\text{Para todo }n\ge 3\,,\;n\in \mathbb{N}\,,$

$\mathrm{\ell n\,}n\ \textgreater \ 1.$


Logo, para todo $n$ natural $\ge 3\,,$

$\dfrac{\mathrm{\ell n\,}n}{n}\ \textgreater \ \dfrac{1}{n}.$


Como $\displaystyle\sum{\dfrac{1}{n}}$ diverge, temos que

$\displaystyle\sum{\dfrac{\mathrm{\ell n}\,n}{n}}$ diverge pelo critério da comparação com a série harmônica.

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2) Sabemos que

$\text{Para todo }n\ge 3\,,\;n\in \mathbb{N}\,,$

$1\ \textless \ \mathrm{\ell n\,}n\ \textless \ n$


Tomando os inversos, da desigualdade acima, obtemos

$\dfrac{1}{n}\ \textless \ \dfrac{1}{\mathrm{\ell n\,}n}$

para todo $n$ natural $\ge 3.$


Portanto, $\displaystyle\sum{\dfrac{1}{\mathrm{\ell n}\,n}}$ diverge pelo critério da comparação com a série harmônica.