Matemática, perguntado por marcos4829, 7 meses atrás

1) Use a integral de trabalho para calcular o seguinte item:

a) Uma corda de 60m pesa 6kg/m está pendurada verticalmente na parede de um poço. Se um peso de 45kg for levantado pela corda, ache o trabalho realizado ao se puxar a corda e o peso para cima do poço.

Soluções para a tarefa

Respondido por Couldnt

A questão trata de trabalho de uma força variável a partir de trabalho infinitesimal.

Trabalho

Trabalho é uma grandeza escalar de transferência de energia devido à uma força. A definição geral de trabalho vem da noção de integral de linha de um campo vetorial da força sob o deslocamento. Seja F(x, y, z) um campo vetorial no espaço e r o vetor de deslocamento, o trabalho da força F ao longo de um caminho C é dado pela integral de linha

$W = \displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$

Este resultado é obtido a a partir da definição de trabalho infinitesimal dW, que é o produto interno entre a força aplicada no corpo com seu vetor de deslocamento infinitesimal:

$dW = \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$

Integrando ambos os lados ao longo do caminho percorrido encontramos a definição por integral de linha. No caso unidimensional, em que o corpo tem apenas 1 grau de liberdade (a questão trata somente das forças na vertical) , a integral de linha torna-se uma integral comum, uma vez que o produto interno de escalares é a multiplicação usual. Deste modo, obteremos que

$W = \displaystyle\int_{x_i}^{x_f} F(x)\, dx$

Exercício

Supondo que o poço tenha 60 metros, assim como a corda, o peso no final da corda não tem dimensões, cada parcela da corda que ultrapassa o topo do poço não contribui mais para a massa total a ser levantada e que a corda tem densidade linear constante, modelamos que a força a qual realiza o trabalho, a peso, é dada por

$F(x) = \underbrace{45\cdot10}_{peso} \ + \underbrace{6\cdot10\cdot(60-x)}_{peso\ da \ corda}$

$F(x) = 4050-60x$

De modo que x corresponde do comprimento de corda já puxado. O trabalho total realizado para puxar a totalidade da corda é obtido quando variamos x de 0 até o comprimento da corda, 60, portanto,

$W = \displaystyle\int_{0}^{60} 4050-60x\, dx$