Question

1) Usando o método de integração por substituição, determine a integral: 2x sobre x elevado a 2+1 dx

2)Usando o método de integração por partes: l u.dv=u.v- l v.du determine a integral ln x.3x elvado a 2 dx

Answer 1

1) Resolver, por substituição, a integral

$\int{\dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx}$


Façamos a seguinte substituição

$u=x^{2}+1\;\;\Rightarrow\;\;du=2x\,dx$


Substituindo na integral, temos

$\int{\dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx}\\ \\ \\ =\int{\dfrac{du}{u}}\\ \\ =\mathrm{\ell n}\left|u\right|+C\\ \\ =\mathrm{\ell n}\left|x^{2}+1\right|+C$


2) Resolver, por partes, a integral

$\int{\mathrm{\ell n\,}(x)\cdot 3x^{2}\,dx}$


$\begin{array}{ll} u=\mathrm{\ell n\,}(x)\;\;&\;\;du=\dfrac{dx}{x}\\ \\ dv=3x^{2}\,dx\;\;&\;\;v=x^{3} \end{array}$


Aplicando a fórmula de integração por partes, temos

$\int{u\,dv}=uv-\int{v\,du}\\ \\ \\ \int{\mathrm{\ell n\,}(x)\cdot 3x^{2}\,dx}=\mathrm{\ell n\,}(x)\cdot x^{3}-\int{x^{3}\cdot\dfrac{dx}{x}}\\ \\ \\ \int{\mathrm{\ell n\,}(x)\cdot 3x^{2}\,dx}=\mathrm{\ell n\,}(x)\cdot x^{3}- \int{x^{2}\,dx}\\ \\ \\ \int{\mathrm{\ell n\,}(x)\cdot 3x^{2}\,dx}=\mathrm{\ell n\,}(x)\cdot x^{3}-\dfrac{x^{3}}{3}+C$