Question

1-(UNIMEP-SP) O valor de x para que os pontos A (0, 1), B (x, -2) e C (-1, 2) sejam colineares é: *

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{x=3}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades de determinantes de matrizes de ordem 3.

Sejam os pontos $(x_1,~y_1)$, $(x_2,~y_2)$ e $(x_3,~y_3)$. Para que eles sejam colineares, devem respeitar a condição de alinhamento de três pontos. Consiste basicamente em calcularmos o determinante da seguinte matriz formada pelas coordenadas destes pontos tal que ela seja igual a zero:

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{vmatrix}=0$

Então, queremos o valor de $x$ para que os pontos $A~(0,~1)$, $B~(x,~-2)$ e $C~(-1,~2)$ sejam colineares. Substituindo estas coordenadas no determinante, temos:

$\begin{vmatrix}0&1&1\\x&-2&1\\-1&2&1\\\end{vmatrix}=0$

Para resolvê-lo, utilizamos a Regra de Sarrus. Em matrizes de ordem 3, consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as duas primeiras colunas, temos:

$\left|\begin{matrix}0& 1 &1 \\ x&-2 &1 \\ -1& 2 & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}0& 1 \\ x&-2 \\ -1& 2 \end{matrix}\right.=0$

Aplique a regra de Sarrus:

$0\cdot(-2)\cdot1+1\cdot1\cdot(-1)+1\cdot x\cdot 2 - (1\cdot x \cdot 1+0\cdot1\cdot 2+1\cdot (-2)\cdot (-1))=0$

Multiplique os valores

$-1+2x-(x+2)=0$

Efetue a propriedade de sinais

$-1+2x-x-2=0$

Some os termos semelhantes

$x-3=0$

Some $3$ em ambos os lados da equação, a fim de isolar $x$

$x=3~~\checkmark$

Este é o valor de $x$ que torna os pontos $A,~B$ e $C$ colineares.

Observe a imagem em anexo: Os pontos estão representados no gráfico e comprova que o valor que encontramos é a resposta correta.