1)(UNICAMP). Considere que o quadrado ABCD,
representado na figura abaixo, tem lados de
comprimento de 1 cm, e que C é o ponto médio do
segmento AE. Consequentemente a distância entre os
pontos De E será igual a
PE
a) V3 cm
b) 2cm
c) V5 cm
d) 56 cm
Soluções para a tarefa
A distância entre os pontos D e E será igual a √5 cm.
Observe que o segmento AC é a diagonal do quadrado. Sendo assim, o ângulo DAC mede 45°.
Além disso, temos que a diagonal do quadrado é igual a d = l√2. Então, AC = √2 cm.
Como C é o ponto médio de AE, então CE = √2 cm também.
Para calcular a medida do segmento DE, vamos utilizar a Lei dos Cossenos:
DE² = AD² + AE² - 2.AD.AE.cos(45)
DE² = 1² + (2√2)² - 2.1.2√2.√2/2
DE² = 1 + 8 - 4
DE² = 5
DE = √5.
Portanto, a distância entre os pontos D e E mede √5 cm.
A distância entre os pontos De E será igual a:
c) √5 cm
Explicação:
Ligando os pontos D e E, forma-se o triângulo ADE.
O ângulo oposto ao lado DE mede 45°, metade de 90°, que é a medida do ângulo interno do quadrado.
Para descobrir a medida DE, basta utilizar a lei dos cossenos:
DE² = AD² + AE² - 2·AD·AE·cos 45°
A medida AD é de 1 cm, já que essa é a medida do lado do quadrado.
A medida AE corresponde a duas vezes a medida da diagonal do quadrado, já que C é o ponto médio de AE.
A diagonal do quadrado é obtida por:
d = L√2
Como L = 1 cm:
d = 1·√2
d = √2 cm
Logo:
AE = 2·d
AE = 2√2 cm
Voltando para a fórmula da lei dos cossenos:
DE² = AD² + AE² - 2·AD·AE·cos 45°
x² = 1² + (2√2)² - 2·1·2√2·√2/2
x² = 1 + 8 - 4√2·√2/2
x² = 9 - 2√2·√2
x² = 9 - 2·2
x² = 9 - 4
x² = 5
x = ±√5
Como é uma medida de comprimento, só pode ser um valor positivo. Logo: x = √5 cm.
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