Question

1. Uma régua de cobre, à temperatura de 29°C mede 1 m de comprimento, quando submetida a uma temperatura de 45° C, qual será o seu comprimento ao sofrer uma dilatação linear? (Coeficiente de dilatação linear do cobre: 1,7.10^-5.°C^-1)

Answer 1

O comprimento da régua de cobre será de 1,000272 m, ao sofrer a dilatação proposta.

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Cálculo

A dilatação linear (variação de comprimento) é proporcional ao produto do comprimento inicial pelo coeficiente de dilatação linear pela variação de temperatura, tal como a equação I abaixo:

$\quad \LARGE {\boxed{\boxed{\begin{array}{lcr} \\\ {\sf \Delta L = L_0 \cdot \Huge \alpha\cdot \LARGE \sf \Delta T } ~\\\ \end{array}}}} \Large ~ ~ ~ \textsf{(equac{\!\!,}{\~a}o I)}$

$\large \textsf{Onde:}$

$\large \sf \Delta L \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ do ~ comprimento ~(em ~ m)$

$\large \sf L_0 \Rightarrow comprimento ~ inicial ~ (em ~ m)$

$\sf \Large \alpha~\large \sf \Rightarrow coeficiente ~de ~ dilatac{\!\!,}\tilde{a}o ~ linear ~ (em ~ ^\circ C^\textsf{-1})$

$\large \sf \Delta T \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ de ~ temperatura ~ (em ~^\circ C)$

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Além disso, sabe-se que a dilatação de um objeto é dada pelo seu comprimento final subtraído de seu comprimento inicial, tal como a equação II abaixo:

$\quad \LARGE {\boxed{\boxed{\begin{array}{lcr} \\\ {\sf \Delta L = L_F -L_0} ~\\\ \end{array}}}} \Large ~ ~ ~ \textsf{(equac{\!\!,}{\~a}o II)}$

$\large \textsf{Onde:}$

$\large \sf \Delta L \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ do ~ comprimento ~(em ~ m)$

$\large \sf L_F \Rightarrow comprimento ~ final ~ (em ~ m)$

$\large \sf L_0 \Rightarrow comprimento ~ inicial ~ (em ~ m)$

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Aplicação

Calculando a dilatação

Sabe-se, conforme o enunciado:  

$\LARGE \sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta L = \textsf{? m} \\\sf L_0 = \textsf{1 m} \\\sf \huge \alpha = \LARGE \textsf{1,7} \cdot \textsf{10}^\textsf{-5 } {^\circ C}^\textsf{-1} \\\sf \Delta T = T_{final} - T_{inicial} = 45 - 29 = 16 \; ^\circ C \\ \end{cases}$

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Assim, tem-se que:

$\sf \Large \sf \Delta L = 1 \cdot \textsf{1,7} \cdot 10^\textsf{-5} \cdot 16$

$\sf \Large \sf \Delta L = \textsf{1,7} \cdot 10^\textsf{-5} \cdot 16$

$\sf \Large \sf \Delta L = \textsf{27,2} \cdot 10^\textsf{-5}$

$\boxed {\boxed {\sf \Large \sf \Delta L = \textsf{2,72} \cdot 10^\textsf{-4} ~ m}} \Large \textsf{ ou } \boxed {\boxed {\sf \Large \sf \Delta L = \textsf{0,000272 m}}}$

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Calculando o comprimento final

Temos que, segundo o enunciado e o cálculo anterior:

$\LARGE \sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta L = \textsf{0,000272 m} \\\sf L_F = \textsf{? m} \\\sf L_0 = \textsf{1 m} \\\end{cases}$

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Assim, tem-se que:

$\sf \Large \sf \textsf{0,000272} = L_F - 1$

$\sf \Large \sf L_F = 1 + \textsf{0,000272}$

$\boxed {\boxed {\sf \Large \sf L_F = \textsf{1,000272 m} }}$

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