Question

1) Uma pirâmide hexagonal regular tem h = 8 cm de altura e a aresta da sua base mede3✓ 3cm. Calcule: a) O apótema da pirâmide; b) O apótema da base; c) A área da base; d) A área lateral; e) A área total; f) O volume.

Answer 1

Resposta:

a) 9,18 cm

b) 4,5 cm

c) 70,15 cm²

d) 143,10 cm²

e) 213,25 cm²

f) 187,07 cm³

Explicação passo-a-passo:

O hexágono da base pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado medindo 3√3 cm (conforme a figura à esquerda). Portanto, a altura deles, ou seja, o apótema será:

$a_{b} = \dfrac{l\sqrt{3} }{2} \\\\ a_{b} = \dfrac{3\sqrt{3} \sqrt{3} }{2} \\\\a_{b} = 4.5 \,\,cm$

Ainda pela figura (à direita), o apótema da pirâmide forma um triângulo retângulo com a altura e o apótema da base, portanto, por Pitágoras:

$a_{p}^2 = h^2 + a_{b}^2\\\\a_{p} = \sqrt{8^2 + 4.5^2} \\\\a_{p} = 9.18 \,\,cm$

A área da base é feita calculando área de triângulos equiláteros multiplicado por 6, assim:

$A_{B}= 6*\dfrac{l^2\sqrt{3} }{4} \\\\A_{B}= 6*\dfrac{(3\sqrt{3} )^2\sqrt{3} }{4} \\\\ A_{B}= 70.15 \,\, cm^2$

A lateral da pirâmide é formada por 6 trinângulos de altura (apótema da pirâmide) 9,18 cm e base (aresta da base) 3√3 cm, assim:

$A_{l} = 6*\dfrac{l*a_{p}}{2} \\\\ A_{l} = 3*3*\sqrt{3}*9.18 \\\\ A_{l} = 143.10 \,\, cm^2$

A área total é a soma das duas áreas achadas anteriormente:

$A_{t} = A_{B} + A_{l} \\\\ A_{t} = 70.15 + 143.10\\\\ A_{t} = 213.25 \,\, cm^2$

O volume da uma pirâmide é:

$V = \dfrac{h*A_{B}}{3} \\\\ V = \dfrac{8*70.15}{3} \\\\ V = 187.07 \,\, cm^3$