Question

1-)Uma partícula é lançada de um ponto O do solo, no instante t = 0, com velocidade Vo formando ângulo X com a horizontal. São dados : g = 10 m/s², Vo = 200 m/s, sen X = 0,8
e cos X = 0,6. Despreze os efeitos do ar e adote um sistema de coordenadas de origem O.

Determine:
a) a altura máxima H atingida
b) o alcance horizontal A

Answer 1

Lançamento oblíquo.

• O que é lançamento oblíquo ?

Lançamento oblíquo é estudo dos movimentos de lançamentos a uma determinada angulação.

• Como podemos estudá-la em seus movimentos ?

No lançamento oblíquo podemos estudar os movimentos na horizontal e na vertical separadamente, porém sendo eles simultâneos.(Princípio de Galileu)

Se decompusermos a velocidade na horizontal e na vertical, vamos ter que:

$\fbox{\displaystyle V_x = V_o.Cos(\theta) }$

$\fbox{\displaystyle V_y = V_o.Sen(\theta) }$

Sendo :

$V_x =$  velocidade na horizontal.

$V_y =$ velocidade na vertical.

$V_o =$ velocidade inicial de lançamento.

$\theta =$ ângulo de lançamento.

Eixo horizontal ( Eixo x ) - temos movimento uniforme(M.U), já que não há nenhuma força atuando no corpo.

Então podemos usar as relações de M.U, ou seja :

1) Equação horária do espaço

 $\fbox{\displaystyle d = V.t }$

$d = A =$ alcance na horizontal

$V = V_x =$velocidade na horizontal

$t =$tempo decorrido  

substituindo, temos :

$\fbox{\displaystyle d = Vt \to A = V_x.t \to A = V_o.Cos(\theta).t }$

Eixo vertical ( Eixo y )  - Temos movimento uniformemente variado(M.U.V), já que a gravidade atua constantemente, como sendo a aceleração.  

Então podemos aplicar as relações de M.U.V, ou seja :

1) Equação horária da velocidade.

$\fbox{\displaystyle V_f = V_o \pm a.t }$

2) Equação de Torricelli.

 $\fbox{\displaystyle V_f^2 = V_o^2 \pm 2.a.\Delta S }$

3) Equação horária do espaço.

$\fbox{\displaystyle S = S_o + V_o.t \pm \frac{g.t^2}{2} }$

sendo :

$V_f = V_{y} =$ velocidade final no eixo y.

$V_o = V_{o.y} =$ velocidade final no eixo y.

$a = g =$ aceleração, que é da gravidade.

$S = Y =$ posição final no eixo y.

$S_o = Y_o =$ posição inicial no eixo y.

$\Delta S = H =$ Altura.

$t =$ tempo decorrido.

Adotando o referencial da gravidade para baixo, vamos fazer as devidas mudanças nas Equações :

1) Equação horária de velocidade

$\fbox{\displaystyle V_f = V_o \pm a.t \to V_y = V_o - g.t }$

$V_y -$ A velocidade final na vertical é 0, já que se trata de um lançamento vertical ( observando separadamente o eixo y).

Portanto :

$\fbox{\displaystyle V_y = V_{oy} - g.t \to 0 = V_o.Sen(\theta) - g.t \to g.t = V_o.Sen(\theta) }$

isolando o tempo :

$\fbox{\displaystyle g.t = V_o.Sen(\theta) \to t = \frac{ V_o.Sen(\theta)}{g } }$

Observação : Esse tempo é apenas o tempo de subida, se quisermos o tempo total $( T_{total} )$ basta multiplicarmos por 2, já que o tempo de descida é o mesmo de subida. Então o tempo total será dada por :

$\fbox{\displaystyle t_{total} = \frac{ 2.V_o.Sen(\theta)}{g } }$

2) Equação de torricelli :

$\fbox{\displaystyle V_f^2 = V_o^2 \pm 2.a.\Delta S \to V_y^2 = V_{o.y}^2 - 2.g.H }$

$V_y -$ A velocidade final na vertical é 0, já que se trata de um lançamento vertical ( observando separadamente o eixo y).

Portanto :

$\fbox{\displaystyle 0 = V_{o.y}^2 - 2.g.H \to 2.g.H = V_o^2.Sen(\theta)^2 }$

isolando a altura :

$\fbox{\displaystyle 2.g.H = V_o^2.Sen(\theta)^2 \to H = \frac{ V_o^2.Sen(\theta)^2}{2.g} }$

(essa já é a altura máxima)

Vou deixar a substituição da 3ª equação para vc treinar.

Agora que temos o tempo total :

$\fbox{\displaystyle t_{total} = \frac{ 2.V_o.Sen(\theta)}{g } }$

Podemos substituir na equação do Alcance

$\fbox{\displaystyle A = V_o.Cos(\theta).t }$

substituindo o tempo :

$\fbox{\displaystyle A = V_o.Cos(\theta).\frac{2.V_o.Sen(\theta)}{g} \to A = \frac{V_o^2.2.Sen(\theta).Cos(\theta)}{g} }$

Sabendo disso, vamos para a questão

A questão nos dá as seguintes informações :

$V_o = 200m/s$

$g = 10m/s^2$

$X =$ ângulo de lançamento

$Sen(X) = 0,8$

$Cos(X) = 0,6$

item a

Altura máxima atingida ?

Vamos aplicar a relação da altura máxima:

$\fbox{\displaystyle H = \frac{V_o^2.Sen^2(X)}{2.g} }$

Substituindo os respectivos valores :

$\fbox{\displaystyle H = \frac{200^2.0,8^2}{2.10} \to H = \frac{40000.0,64}{20} }$

Portanto :

$\fbox{\displaystyle H = 1280m }$

item b

Alcance ?

Vamos aplicar a relação do Alcance :

$\fbox{\displaystyle A = \frac{V_o^2.2.Sen(X).Cos(X)}{g} }$

Substituindo os respectivos valores :

$\fbox{\displaystyle A = \frac{200^2.2.0,8.0,6}{10} \to A = \frac{40000.2.0,8.0,6}{10} }$

Portanto :

$\fbox{\displaystyle A = 3840m }$