Question

1) Uma das grandes aplicações do Cálculo Diferencial e Integral está relacionada ao cálculo da área de uma região abaixo de certa curva limitada pelo eixo Ox. Considere a função f(x), de R em R, definida por f(x) = x3 + 2x + 5 e o intervalo I = [0; 1]. Analise as afirmativas abaixo. I – A sua antiderivada é uma função polinomial de 3º grau. II – A função F(x) = (x4/4) + x2 + 5x + 4 é uma primitiva dessa função. III – A área da região abaixo da curva e limitada pelo eixo Ox em I é igual a 23/4 u.a.. Assinale a alternativa que apresenta somente a(s) afirmativas correta(s). Alternativas: a) Somente a afirmativa I está correta. b) Somente a afirmativa II está correta. c) Somente a afirmativa III está correta. d) Somente as afirmativas I e III estão corretas. e) Somente as afirmativas II e III estão corretas.

Answer 1

Temos $f(x)=x^3+2x+5$

i) FALSO. A antiderivada (ou primitiva) de uma função f(x) é aquela que uma vez derivada resultará no próprio f(x). Se nosso f(x) já é uma função de terceiro grau então sua primitiva deve ser de quarto grau (lembre-se da regra do tombo na derivação de polinômios; o grau sempré é reduzido)

ii) Correto. Vamos derivar e verificar se F(x) é realmente uma primitiva de f(x):

$F(x)=\frac{x^4}{4}+x^2+5x+4\\\\F'(x)=\frac{4x^3}{4}+2x^1+5x^0+4.0\\\\F'(x)=x^3+2x+5 = f(x)$

iii) Falso. Utilizemos o teorema fundamental do cálculo que nos diz que:

$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(x) | {_a^b} = F(b) - F(a)$

$\int_{0}^{1} x^3+2x+5 dx\\\\\frac{x^4}{4}+x^2+5x \: | {_0^1}\\\\\frac{1^4}{4}+1^2+5.1 - (\frac{0^4}{4}+0^2+5.0)\\\\\frac{1}{4}+6 = \frac{25}{4}$