Question

1)uma corrida é disputada por 8 cavalos.quantos são os possíveis resultados para as 3 primeiras colocações?

2)numa classe de 20 alunos,3 são escolhidos para formar uma comissão.quantas serão as possíveis comissões?

3)numa sala há 10 carteiras.De quantos modos diferentes 4 alunos podem se distribuir nessas carteiras?

Answer 1

1)
Para a primeira colocação: 8 possibilidades
Para a segunda colocação: 7 possibilidades
Para a terceira colocação: 6 possibilidades:

Logo o total de possibilidades é 8 x 7 x 6 = 336 resultados possíveis

2)
Para escolher o primeiro aluno: 20 possibilidades
Para escolher o segundo aluno: 19 possibilidades
Para escolher o terceiro aluno: 19 possibilidades

Total de diferentes comissões: 20 x 19 x 18 = 6.840

3)
Trata-se de combinar 10 carteiras 4 a 4

$C_{10,4)=\frac{10!}{(10-4)!4!}=\frac{10!}{6!4!}=\frac{10.9.8.7.6!}{6!.4.3.2.1}=210 \ maneiras$

Answer 2

1) Observe que a ordem dos cavalos é importante, isto é, se os três primeiros 
colocados são A, B e C, há 6 ordens diferentes para suas colocações:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

Assim, temos 8 maneiras de escolher o primeiro colocado, 7 modos de escolher o segundo e 6 para o terceiro colocado.

O número de resultados possíveis é $8\times7\times6=336$.

Outra maneira é a seguinte:

Há $\dbinom{8}{3}=\dfrac{8!}{3!\cdot5!}=56$ modos de escolher três cavalos entre os 8.

Para uma dessas escolhas, há $3!$ modos de permutá-los. A resposta é $56\times3!=336$, como antes.


2) Observe que, a ordem de escolha dos alunos não é importante. Usaremos a ideia de combinação.
O número de maneiras de esolher $k$ alunos entre $n$ é $\dbinom{n}{k}$.
Assim, é possível formar $\dbinom{20}{3}=\dfrac{20!}{3!\cdot17!}=1~140$ comissões de 3 alunos, dispondo-se de 20 alunos.


3) Vamos chamar os alunos de A, B, C e D. Deste modo, há $10$ possibilidades para a escolha da carteira de A.

Escolhida a carteira de A, teremos $9$ modos de escolher a carteira de B.

Escolhida a carteira de B, teremos $8$ maneiras de escolher a carteira de C.

Por fim, teremos $7$ possibilidades para a carteira de D.

Assim, há $10\times9\times8\times7=5~040$ modos diferentes de distribuir esses 4 alunos.