Question

1) Um título de $ 3.000,00 vai ser descontado à taxa de 5% ao mês. Faltando 3 meses para o vencimento do título, determine o desconto racional.
2) Um título de $ 5.000,00 vai ser descontado à taxa de 4.5% ao mês. Faltando 2 meses para o vencimento do título, determine o desconto comercial.
3) Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a $ 50.000,00, 6 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 30% a.a.
a) qual o desconto comercial;
b) calcule o valor líquido recebido pela empresa.

Answer 1

1) Aplicando desconto racional:

$Desconto = valor\ do\ titulo \times \dfrac{(1+taxa)^{periodo}-1}{(1+taxa)^{periodo}}\\\\\\ Desconto = 3.000 \times \dfrac{(1+0,05)^{3}-1}{(1+0,05)^{3}}\\\\\\ Desconto = 3.000 \times \dfrac{(1,05)^{3}-1}{(1,05)^{3}}\\\\\\ Desconto = 3.000 \times \dfrac{1,157625-1}{1,157625}\\\\\\ Desconto = 3.000 \times \dfrac{0,157625}{1,157625}\\\\\\ Desconto \approx 3.000 \times 0,1361624\\\\\\ \boxed{\boxed{Desconto \approx R\ \ 408,49}}$


2) Aplicando desconto comercial:

$Desconto = valor\ do\ titulo \times [(1+taxa)^{periodo}-1]\\\\ Desconto = 5.000 \times [(1+0,045)^{2}-1]\\\\ Desconto = 5.000 \times [(1,045)^{2}-1]\\\\ Desconto = 5.000 \times [1,092025-1]\\\\ Desconto = 5.000 \times 0,092025\\\\ \boxed{\boxed{Desconto \approx R\ \ 460,123}}$


3) Aplicando desconto comercial e encontrando o valor líquido:

A taxa é anual e o período semestral, ou seja, possuímos 2 período para equivaler a taxa. Encontrando a taxa relativa a um semestre:

$Taxa = \sqrt[{periodo}]{1+taxa}-1\\\\ Taxa = \sqrt[{2}]{1+0,3}-1\\\\ Taxa = \sqrt[{2}]{1,3}-1\\\\ Taxa \approx 1,140175-1\\\\ Taxa \approx 0,140175\ (\ \approx\ 14,0175\%\ a.s.\ )$

Com a taxa equivalente ao perído, basta aplicar o desconto de forma direta:

$Desconto \approx 50.000 \times 0,140175\\\\ \boxed{\boxed{Desconto \approx R\ \ 7.008,75}}$


Encontrado o valor do desconto, subtraindo do valor do título, teremos o valor líquido:

$Valor\ liquido=50.000 - 7.008,75\\\\ \boxed{\boxed{Valor\ liquido=R\ \ 42.991,25}}$


Espero ter ajudado.
Bons estudos!