Matemática, perguntado por wevesonlucena4552, 3 meses atrás

1. um polígono regular possui 30 diagonais que não passam pelo seu centro. a medida do ângulo interno do polígono é: a) 144o b) 120o c) 150o d) 160o e) 162o

Soluções para a tarefa

Respondido por crr2005

A medida do ângulo interno do polígono do decágono é 144°, que corresponde à alternativa a

Cálculo do ângulo Interno de um polígono regular

A medida do ângulo interno de um polígono regular é calculada pela fórmula,

α=(180°*(n-2))/n, em que,

α -e a medida do ângulo em graus
n é o número de lados do polígono regular

No caso ora proposto, ainda não sabemos o número de lados do polígono. Apenas, sabemos que ele possui 30 diagonais que não passam pelo centro do polígono.

Por outro lado, sabemos que o número de diagonais de um polígono regular é calculada pela seguinte fórmula,

Nd=(n*(n-3))/2, em que,

Nd é o número de diagonais do polígono regular
n é o número de lados do polígono regular

Porém, o número de diagonais fornecido, exclui as diagonais que passam pelo centro.

Sabemos que, se o número de lados for par, haverá uma quantidade de diagonais que passam pelo centro. E, é fácil perceber que o total destas é igual à metade do número de vértices, ou de lados. Portanto, caso o polígono tenha um número par de lados, ou seja, caso n seja par, teremos n/2 diagonais que passam pelo centro. Portanto, usando a fórmula do número de diagonais, vamos considerar o número fornecido mais n/2 diagonais, portanto,

Nd = 30 + n/2

Substituindo na fórmula do cálculo de Nd, temos,

30 + n/2 = (n*(n-3))/2

2*(30 + n/2) = n² - 3n

60 + n = n² - 3n

n² - 4n - 60 = 0

Usando Bhaskara, calculamos, primeiramente, o discriminante,

Δ=(-4)²-4*1*(-60)

Δ= 16 + 240 = 256

Agora, calculamos a raiz de Δ,

√256 = 16

Então, podemos calcular as raízes,

x1 = (-b + √Δ)/2a

x1 = (-(-4) + 16)/2

x1 = (4 + 16)/2

x1 = 20/2

x1 = 10

x2 = (-b - √Δ)/2a

x2 = (-(-4) - 16)/2

x2 = (4 - 16)/2

x2 = -12/2

x2 = -6

Consideremos somente a raiz positiva, já que se trata do número de lados do polígono regular. Portanto, o polígono é um decágono, pois tem 10 lados.

Agora, para encontrar o ângulo interno do polígono, usamos a fórmula,

α=(180°*(n-2))/n

α=(180°*(10-2))/10

α=(180°*(8))/10

α=1440°/10

α=144°

Portanto, a resposta correta é a alternativa a

Para encontrar o número de lados a partir do ângulo interno, podemos usar a mesma fórmula, só que modificada, para encontrar o valor de n,

então,

α=(180°*(n-2))/n

αn=(180°*(n-2))

αn=180°*(n-2)