Question

1) Um pet shop colocou à venda 12.750 números para realizar um sorteio de um cachorro buldogue francês. Sabendo-se que a venda semanal dos números obedece a uma progressão geométrica e que, na primeira semana foram vendidos 50 números, na segunda 100 números, na terceira 200 números, e assim sucessivamente até que todos os números fossem vendidos, quantas semanas foram necessárias para que todos os números fossem vendidos?

Answer 1

Olá,

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao termo nterior vezes uma constante (razão q).

Exemplo: Considere a PG (1, 3, 9, 27...). Essa PG tem razão q = 3, pois

1 × 3 = 3

3 × 3 = 9

9 × 3 = 27

...

A fórmula para calcular a soma dos termos de uma PG com número finito de termos é

Soma = $\frac{a_0(q^{n}-1)}{q-1}$,

sendo:

$a_0$: primeiro termo da PG

q: razão

n: quantidade de termos

Com essas informações conseguimos resolver o problema.

Nesse problema, a quantidade de números vendidos forma a PG (50, 100, 200,...) de razão q = 2, pois

50 × 2 = 100

100 × 2 = 200

...

Sabemos que o total de números colocados à venda é 12.750 números, ou seja, essa é a soma dos termos da PG.

Dessa forma, podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PG para calcular a quantidade de termos da PG, ou seja, a quantidade de semanas necessárias para vender todos os números. Sabendo que,

Soma = 12.750

$a_0$ = 50

q = 2

Tem-se que

12.750 = $\frac{50(2^{n}-1)}{2-1}$,

12.750 = $\frac{50(2^{n}-1)}{1}$,

12.750 = $50(2^{n}-1)$,

$\frac{12.750}{50}$ = $2^{n}-1$,

$255$ = $2^{n}-1$,

$255 + 1$ = $2^{n}$,

$256$ = $2^{n}$

Fatorando o 256, tem-se que 256 = $2^{8}$. Substituindo na equação acima:

$2^{8}$ = $2^{n}$

Logo, n = 8, ou seja, foram necessárias 8 semanas para que todos os termos fossem vendidos.

Abraços,