Question

1- Um número real "a" pode satisfazer simultaneamente sen a = 1/3 e cos a = 2/3 *
a) verdadeiro b) falso

2- Sabendo que cosx = -3/5, com x pertencente ao 3º quadrante. Quais afirmações abaixo são verdadeiras? *
a) cotg x = 3/4
b) sen x = 4/5
c) cossec x = - 5/4
d) sec x = -5/3
​

Answer 1

1)

Vamos verificar está afirmação utilizando a identidade trigonométrica $\boxed{sen^2x~+~cos^2x~=~1}$ . Substituindo os valores dados, temos:

$\left(\dfrac{1}{3}\right)^2~+~\left(\dfrac{2}{3}\right)~=~1\\\\\\\dfrac{1^2}{3^2}~+~\dfrac{2^2}{3^2}~=~1\\\\\\\dfrac{1}{9}~+~\dfrac{4}{9}~=~1\\\\\\\dfrac{5}{9}~=~1~~~\boxed{\times}~~Absurdo!$

Como vimos acima, os valores de sen(a) e cos(a) não "respeitam" a identidade trigonométrica, chegamos um um absurdo, logo a afirmação é FALSA.

2)

Há diferentes formas de resolver o exercício, a que julgo mais simples é utilizar as relações de seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo.

Acompanhando com auxílio do desenho anexado, temos as relações:

$\boxed{sen(x)=\dfrac{Cateto~Oposto}{Hipotenusa}}~\boxed{cos(x)=\dfrac{Cateto~Adjacente}{Hipotenusa}}~\boxed{tg(x)=\dfrac{Cateto~Oposto}{Cateto~Adjacente}}$

Outra coisa que necessita a atenção é o sinal destas funções como podemos ver na tabela abaixo.

$\begin{array}{c|c|c|c|c|}\boxed{_{Funcao}\backslash^{Quad.}}&1^oquadrante&2^oquadrante&3^oquadrante&4^oquadrante\\Seno&+&+&-&-\\Cosseno&+&-&-&+\\Tangente&+&-&+&-\end{array}$

Dito isso, vamos ao triângulo.

Pelo enunciado, o módulo do cosseno é 3/5, seguindo a relação do cosseno, vista anteriormente, vamos montar um triângulo com Cateto Adjacente igual a 3 e Hipotenusa igual a 5.

Aplicando o teorema de Pitágoras, acharemos o valor do cateto oposto:

$Cat.Oposto^2~+~Cat.Ajacente^2~=~Hipotenusa ^2\\\\\\Cat.Oposto^2~+~3^2~=~5^2\\\\\\Cat.Oposto^2~+~9~=~25\\\\\\Cat.Oposto^2~=~25-9\\\\\\Cat.Oposto~=~\sqrt{16}\\\\\\\boxed{Cat.Oposto~=~4}$

Certo, temos todos dados que precisamos para avaliar as afirmações feitas pelo exercício.

Obs.: Vamos começar avaliando (b)

b) Incorreto

Como vimos antes, o seno é o quociente entre cateto oposto e hipotenusa e, no 3º quadrante, seno é negativo, logo:

$sen(x)~=~\dfrac{Cateto~Oposto}{Hipotenusa}\\\\\\\boxed{sen(x)~=\,-\dfrac{4}{5}}$

a) Correto

A cotg(x) é dada pelo quociente entre cos(x) e sen(x).

Lembrando de considerar o sinal das funções, temos:

$cotg(x)~=~\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\\\\\\cotg(x)~=~\dfrac{-\dfrac{3}{5}}{-\dfrac{4}{5}}\\\\\\cotg(x)~=~-\dfrac{3}{5}}~\cdot \left(-\dfrac{5}{4}\right)\\\\\\cotg(x)~=~\dfrac{3\cdot 5}{5\cdot 4}\\\\\\\boxed{cotg(x)~=~\dfrac{3}{4}}$

c) Correto

A cossec(x) é o inverso da função sen(x), logo:

$cossec(x)~=~\dfrac{1}{sen(x)}\\\\\\cossec(x)~=~\dfrac{1}{-\dfrac{4}{5}}\\\\\\\boxed{cossec(x)~=\,-\dfrac{5}{4}}$

d) Correto

A sec(x) é o inverso da função cos(x), logo:

$sec(x)~=~\dfrac{1}{cos(x)}\\\\\\sec(x)~=~\dfrac{1}{-\dfrac{3}{5}}\\\\\\\boxed{sec(x)~=\,- \dfrac{5}{3}}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$