Question

1. Um investidor aplicou R$ 10 000,00 em um fundo de investimento que rende 10% ao ano, a juros compostos. Qual é o menor número inteiro de meses necessário para que o montante dessa aplicação seja R$ 80 000,00? Dados: log 2 = 0,3 log 3 = 0,48 log 5 = 0,7 log 7= 0,85 log 11 = 1,04​

Answer 1

Serão necessários 261 meses para que a aplicação tenha o montante de R$80.000,00.

Juros Compostos com Logaritmo

Os juros compostos são utilizados na maioria das negociações financeiras. Seu valor pode ser calculado a partir das fórmulas:

$\displaystyle M = C(1+i)^t$, onde:

• M é a montante, ou seja, o valor final;
• C é o capital inicial;
• i é a taxa de juros, em decimais, ou seja, dividida por 100;
• t é o tempo aplicado.

Para encontrar apenas o valor do juros, deve-se subtrair o valor da montante pelo capital inicial, assim sendo:

J = C - M

Resolução do exercício

Dados do enunciado:

• Capital (C) = R$10.000,00;
• Taxa de juros (i) = 10%a.a.;
• Montante (M) = R$80.000,00.

Deve-se calcular o tempo aplicado em meses.

Para iniciar os cálculos substituem-se os valores dados na fórmula do juros composto.

$\displaystyle 80.000 = 10.000(1+\frac{10}{100} )^t$

$\displaystyle 80.000 = 10.000(1+0,10 )^t$

$\displaystyle 80.000 = 10.000 * 1,10^t$

$\displaystyle 1,10^t= \frac{80.000}{10.000}$

$\displaystyle 1,10^t=8$

Para resolver a partir deste ponto será necessário utilizar o Logaritmo.

$\displaystyle Log1,10^t=Log 8$

Para descobrir o valor do Log8 utiliza-se o valor de log 2, utilizando a seguinte propriedade dos expoentes:

$\displaystyle Logx^n=n*Logx$

Então:

Log 8 = Log 2³

Log 8 = 3 × Log 2

Log 8 = 3 × 0,30

Log 8 = 0,90

Voltando ao exercício:

$\displaystyle Log1,10^t=0,90$

Utilizando a mesma propriedade dos expoentes, tem-se:

$\displaystyle t*Log1,10=0,90$

$\displaystyle t= 0,90 /Log1,10$

O log 1,10 é o mesmo que Log (11/10) já que 11/10 = 1,1. O log 11 foi dado pelo enunciado, já para calcular o log de 10 utiliza-se a propriedade da multiplicação.

Log (A × B) = Log A + Log B

Ou seja:

Log10 = Log (2 × 5)

Log10 = Log 2 + Log 5

Log 10 = 0,30 + 0,70

Log 10 = 1,0

Utilizando a propriedade da divisão, tem-se que o Log1,10 será:

Log(A/B) = Log A - Log B

Então:

$\displaystyle Log1,1=Log(\frac{11}{10})$

$\displaystyle Log1,1=Log11-Log10$

$\displaystyle Log1,1=1,04-1,00$

∴Log 1,1 = 0,04

Voltando para a equação de t, tem-se:

$\displaystyle t= \frac{0,90}{Log1,10}$

$\displaystyle t= \frac{0,90}{0,04}$

t = 21,82 anos

Para transformar em meses multiplica-se por 12:

t = 21 anos inteiros + 0,82 ano

t = (21 × 12) + (0,82 × 12)

t = 252 meses inteiros + 9,84 meses

t = 261 meses inteiros + 0,84 mes

∴ Serão necessários 261 meses.

Para melhor fixação do conteúdo você pode ver outra pergunta sobre juros composto com logaritmo no link: https://brainly.com.br/tarefa/53402593

#SPJ1