Question

1-  Um engenheiro analisou a área de um terreno e decidiu representar graficamente a região ABCO, de acordo com a figura (no anexo).
A área total representada, em m², é de:
a) 1800
b) 900
c) 675
d) 1162,5
e) 937,5

2-  O logotipo de uma empresa foi criado com triângulos semelhantes, de acordo com a figura (no anexo). 
Sabendo-se que AG = x + 12 cm, DG = 8 cm, GB = 10 cm, AE = 18 cm, EF = y e FC = 15 cm, a diferença entre y e x é de:
a) 4
b) 8
c) - 4
d) - 8
e) 12

3-  Com o objetivo de melhorar a iluminação de uma residência, um arquiteto projetou um telhado com duas águas de diferentes inclinações, de acordo com a figura (no anexo).
A diferença de altura x entre as águas é de:
a) 1,56 m
b) 3,48 m
c) 3 m
d) 5,04 m
e) 8,52 m
Dados: sen 30º = 0,5; cos 30º = 0,87; tg 30º = 0,58
             sen 40º = 0,64; cos 40º = 0,77; tg 40º = 0,84

Answer 1

Oi Rodrigo!

1) Analisando a figura, percebe-se que esse terreno foi dividido em 2 triângulos (um maior e outro menor) e um retângulo.

Como os valores no plano cartesiano estão dados em metros, vamos definir as medidas de cada uma das figuras de acordo com o gráfico:
Retângulo:
Base (b) = 30m, Altura (h) = 15m

Triângulo maior:
Base (b) = 30m, Altura (h) = 25m

Triângulo menor:
Base (b) = 15m, Altura (h) = 15m

Veja que a área total do terreno será a soma das área dos dois triângulos e do retângulo. Então, vamos calcular cada uma separadamente:
Área retângulo (Ar):
Ar = b*h
Ar = 30*15
Ar = 450m²

Área triângulo maior (At1):
At1 = (b*h)/2
At1 = (30*25)/2
At1 = 375m²

Área triângulo menor (At2):
At2 = (b*h)/2
At2 = (15*15)/2
At2 = 112,5m²

Logo, a área total do terreno é dada por:
A = Ar +At1 +At2
A = 450 +375 +112,5
A = 937,5m²

2) Note que as bases dos triângulos na figura formada são segmentos paralelos e, por isso, podemos aplicar o teorema de Tales, que nos diz: “Segmentos de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.

Ou seja, para descobrir y, podemos dizer que, de acordo com a proporcionalidade de Tales:
$\frac{8}{10} = \frac{y}{15}$

O que resulta em:
$\frac{8}{10} = \frac{y}{15} \\ 8*15 = 10y \\ 10y = 120 \\ y = 12 cm$

Raciocinando da mesma forma, podemos encontrar x, dizendo que:
$\frac{x+12}{8}= \frac{18+y}{y} \\ \\ \frac{x+12}{8} = \frac{30}{12}$

O que nos resulta:
$\frac{x+12}{8} = \frac{30}{12} \\ 12(x+12) = 8*30 \\ 12x+144 = 240 \\ 12x = 96 \\ x = 8cm$

Como a questão nos pede a diferença entre y e x, temos:
y -x = 12 -8 = 4

3) Veja que a base de ambos os triângulos retângulos do telhado da residência medem 6m. Como queremos descobrir o valor dos 2 Catetos Opostos aos respectivos ângulos agudos (de 30º e 40º), sendo que conhecemos o valor de seus Catetos adjacentes (6m e 6m), devemos aplicar a relação chamada tangente, que é a razão entre o Cateto oposto e o Cateto adjacente. Isto é:
tgα = C.O/C.A

Vamos primeiro descobrir o valor do Cateto oposto (C.O) do triângulo da esquerda. Aplicando a tangente, temos:
tg30º = C.O/6
(Nota: A questão nos dá o valor aproximado de tg30º = 0,58. Portanto, vamos usá-lo)

0,58 = C.O/6
C.O = 0,58*6
C.O = 3,48m

Logo, o C.O do triângulo da esquerda, ou a altura do lado menor do telhado mede 3,48m.

Agindo da mesma maneira, vamos descobrir o valor C.O do triângulo da direita:
tg40º = C.O/6
(Nota: A questão nos dá o valor aproximado de tg40º = 0,84. Portanto, vamos usá-lo)

0,84 = C.O/6
C.O = 0,84*6
C.O = 5,04m

O cateto oposto, ou lado maior do telhado mede 5,04m. Portanto, o valor de x é exatamente o valor desse C.O subtraído do valor do C.O do outro triângulo, menor, ou seja:
x = 5,04 -3,48
x = 1,56m

Bons estudos!