Question

1.    Um
dado é lançado duas vezes e os resultados obtidos são somados. Qual é a
probabilidade de se obter uma soma igual a 6?




 

2.    Um
dado é lançado duas vezes e os resultados obtidos são multiplicados. O
que tem mais chance de ocorrer: este produto ser um número par ou um número
ímpar? Calcule as probabilidades de se obter um produto par e de se obter um
produto ímpar.

 

 3.    De
um grupo de 3 meninos e 5 meninas serão escolhidas duas pessoas ao acaso. Qual
é a probabilidade de serem escolhidas duas pessoas do mesmo sexo?

 

Answer 1

1) Primeiramente vamos calcular o espaço amostral do evento, ou seja, todas as possibilidades.

1° lançamento: 6 chances de saírem números diferentes
2° lançamento: mais 6 chances de sair números distintos

Por isso, o espaço é:

$n(U) = 6 \times 6 = 36$

Agora vamos calcular o que queremos: soma dos pontos igual a 6. E as possibilidades são: (lembrando que o primeiro número do par é do 1° lançamento, e o segundo do segundo lançamento:

$n(A) = \{(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)\} \rightarrow 5 \ \text{elementos}$

Portanto:

$P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} \\\\ \boxed{\boxed{P(A) = \frac{5}{36}}}$


2- Já sabemos que o espaço amostral de cada um será 36. Vamos ver a possibilidade de sair um número par na multiplicação:

$n(A) = \{(1,2)(1,4)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,2)(3,4)(3,6)(4,1) \\ (4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,2)(5,4)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)\} \rightarrow \\ 27 \ elementos$

Portanto:

$P(A) =\frac{n(A)}{n(U)} \\\\ P(A) =\frac{27^{\div 3}}{36^{\div3}} = \frac{9^{\div3}}{12^{\div 3}} = \frac{3}{4} = \boxed{75\%}$


Agora a probabilidade de ocorrer, na multiplicação, resultado ímpar.

$n(B) = \{(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5)\} \rightarrow 9 \ elementos \\\\\\ P(B) = \frac{n(B)}{n(U)} \\\\ P(B) = \frac{9^{\div3}}{36^{\div3}} = \frac{3^{\div3}}{12^{\div3}} = \frac{1}{4} = \boxed{25\%}$


Portanto, está bem claro. Tem mais chance de ocorrer um resultado par no produto.


3- Bom, para sair pessoas do mesmo sexo, ou devem ser MULHERES/MULHERES ou HOMENS/HOMENS. Primeiramente vamos ver a probabilidade de sair só mulher

$M \ \ \ \ \ \ M \\ \frac{5}{8}$

O 8 é o espaço amostral, pois é o total de pessoas; 5 é o total de mulheres. Mas se vier uma segunda mulher, o espaço não será mais 8, mas sim 7, pois uma mulher já foi escolhida, assim, o total também diminui para 4.

$M \ \ \ \ \ \ M \\ \frac{5}{8} \ \ \ \cdot \ \ \ \frac{4}{7} = \ \frac{20^{\div 4}}{56^{\div4}} = \boxed{\frac{5}{14}}$


Agora de homens:

$H \ \ \ \ \ \ H \\ \frac{3}{8} \ \ \ \cdot \ \ \ \frac{2}{7} \ = \frac{6^{\div2}}{56^{\div2}} = \boxed{\frac{3}{28}}$

Somamos os dois:

$P(A) = \frac{5}{14} + \frac{3}{28} \\\\ MMC = 28 \\\\ P(A) = \frac{5^{\times2}}{14^{\times2}} + \frac{3}{28} \\\\ P(A) = \frac{10}{28} + \frac{3}{28} = \boxed{\boxed{\frac{13}{28}}}$