Question

1- Um carro viaja a 50km para leste, 30km para o norte e 25km em uma direção 30° a leste do norte. Desenhe o diagrama vetorial e determine a) o módulo e b) o ângulo do deslocamento total do carro em relação ao ponto de partida. (Eu tenho as respostas, mas eu não sei o desenvolvimento, então, por favor enviem com o desenvolvimento. Respostas: a) 81km e b)40°)

2- a) Determine a soma a + b, em termos de vetores unitários, para a=(4,0m)^i+(3,0m)^j e b=(-13,0m)^i+(7,0m)^j. Determine b)o módulo e c)o sentido de a+b. (Eu tenho as respostas, mas eu não sei o desenvolvimento, então, por favor enviem com o desenvolvimento. Respostas: a)-9m^i+10m^j, b)13m e c)132°​

Answer 1

Resposta:

Vide explicação.

Explicação:

1)

Para fazer a primeiro podemos fazer a soma de dois vetores, um formado pelos dois primeiros deslocamentos e outro que será o ultimo deslocamento.

Para já familiarizar com a notação dos vetores irei adotar o sentido Leste como Î e o norte como j, ficando assim temos:

$d_1 = 50\vec{i}\\\\d_2 = 30\vec{j}\\\\d_3 = \frac{25}{2}\vec{i}+\frac{25\sqrt{3}}{2}\vec{j}$

Usei decomposição para achar o vetor d3.

Para achar o vetor resultante basta somar as coordenadas, isso é, os que tem i com os que tem i e os que tem j com os que tem j.

$d_t=(50+\frac{25}{2})\vec{i}+(30+ \frac{25\sqrt{3}}{2})\vec{j}\\\\d_t=\frac{125}{2}\vec{i}+\left(30+\frac{25\sqrt{3}}{2}\right)\vec{j}$

Para achar a norma basta elevar ao quadrado os dois e tirar a raiz:

$||d_t||=\sqrt{\left(50+\frac{25}{2}\right)^2+\left(30+ \frac{25\sqrt{3}}{2}\right)^2}\\\\||d_t|| \approx 81{,}08\,\mbox{km}$

Para achar o ângulo temos que usar o arcotangente, sendo assim:

$\theta = \arctan\left(\frac{2}{125}\cdot \left[30+\frac{25\sqrt{3}}{2}\right] \right)\\\\\theta \approx 40{,}33^\circ$

2)

Para somar basta somar coordenada por coordenada, sendo assim:

$\vec{a} = 4\vec{i}+3\vec{j}\\\\\vec{b} = -13\vec{i}+7\vec{j}\\\\\vec{a}+\vec{b}=(4-13)\vec{i}+(3+7)\vec{j}\\\vec{a}+\vec{b}=-9\vec{i}+10\vec{j}$

Novamente o módulo será obtido elevando ao quadrado e tirando a raiz:

$||\vec{a}+\vec{b}||=\sqrt{\left(-9\right)^2+10^2}\\\\||\vec{a}+\vec{b}|| \approx 13{,}45\mbox{m}$

O menor ângulo pode ser obtido novamente pelo arcotangente:

$\theta = \arctan\left(\frac{10}{9}\right )\\\\\theta \approx 48^\circ$

Fazendo 180 - 48 chegamos no ângulo da resposta.