Question

1. Um balão sobe com velocidade constante V. Quando ele está a uma altura h do solo, um projétil é disparado em direção ao balão com velocidade V/2. Desprezando-se a resistência do ar, poderemos afirmar que:
a) O projétil atingirá o balão.
b) O projétil chega mais perto do balão no instante t = (V/2)g.
c) O projétil chega mais perto do balão no instante t = (2V)/g.
d) O projétil atinge o balão na sua altura máxima.
e) N.R.A.

Quero a explicação de como chegou na resposta

Answer 1

1. O balão sobe com velocidade constante, ou seja, o Movimento é Retilíneo Uniforme (MRU)
2. O movimento do projétil é Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), classificado como progressivo retardado na subida e retrógrado acelerado na descida. A velocidade inicial (v₀) é v/2 .

Vamos verificar se a letra "a" está correta:

Quando qualquer corpo, lançado para cima, atinge a altura máxima sua velocidade é zero. Vamos substituir na Função Horária da Velocidade:

$v = v_{0} - gt$

A gravidade é negativa, pois, é contrária ao que foi determinado como direção positiva.

$0 = \frac{v}{2} - gt$

$- \frac{v}{2} = - gt$

Quando o projétil atingir sua altura máxima ele estará no instante:

$t = \frac{v}{2g}$

Substituímos este "t" na Função Horária do Espaço para descobrir a altura máxima que o projétil chega:

$s = s_{0} + v_{0} t - \frac{g}{2} t^{2}$

A posição inicial é zero.

$s = 0 + \frac{v}{2} \times \frac{v}{2g} - \frac{g}{2} \times (\frac{v}{2g})^{2}$

$s = \frac{v^{2}}{4g} - \frac{g}{2} \times \frac{v^{2}}{4g^{2}}$

$s = \frac{v^{2}}{4g} - \frac{gv^{2}}{8g^{2}}$

$s = \frac{v^{2}}{4g} - \frac{v^{2}}{8g}$

$s = \frac{2v^{2} - v^{2}}{8g}$

A altura máxima do projétil é:

$s = \frac{v^{2}}{8g}$

Utilizando o tempo encontrado para a altura máxima do projétil vamos substituir numa equação para o balão e descobrir a altura do balão neste instante. Função Horária do MRU:

$s = s_0 + vt$

A posição inicial do balão é "h", e é igual ao produto da velocidade pelo tempo.

$s = h + vt$

$s = v \times t + v \times \frac{v}{2g}$

$s = v \times \frac{v}{2g} + \frac{v^2}{2g}$

$s = \frac{2v^2}{2g}$

$s = \frac{v^2}{g}$

Comparando as posições do balão e do projétil para o instante $t = \frac{v}{2g}$ :

$s_{balao} > s_{projetil}$

$\frac{v^2}{g} > \frac{v^{2}}{8g}$

Letra A: errado

Vamos verificar se a letra "b" está correta:

"O projétil chega mais perto do balão no instante t = (V/2)g"

Calculamos no item anterior que a altura máxima do projétil se dá no instante $t = \frac{v}{2g}$ .

Letra B: errado

Vamos verificar se a letra "c" está correta:

"O projétil chega mais perto do balão no instante t = (2V)/g."

Calculamos no item a que a altura máxima do projétil se dá no instante $t = \frac{v}{2g}$ .

Letra C: errado

Vamos verificar se a letra "d" está correta:

"O projétil atinge o balão na sua altura máxima."

Já provamos na letra "a" que o projétil não atinge o balão.

Letra D: errado

Resposta: E