Question

1 - Tem-se uma progressão aritmética de 20 termos onde o primeiro termo é igual a 5. Qual a soma de todos os termos dessa progressão aritmética ?
2 - Quantos números ímpares há compreendidos entre 100 e 600?
3 - Qual a razão da P.A. (1,6,11,16,21......)
4 - Calcule a soma dos 25 primeiros termos da P.A (1,3,5...)
5 - Interpole 6 meios aritméticos entre 100 e 184.

Answer 1

Após efetuar os cálculos, concluímos que:

1) Com os dados fornecidos não é possível descobrir o 20º termo e com isso é impossível descobrir a soma dos 20 termos

2) Há 250 números ímpares entre 100 e 600

3) a razão r da sequência é 5

4) A soma dos 25 primeiros termos  da PA é 625

5) A interpolação pedida é (100,112,124,136,148,160,172,184)

Definição de progressão aritmética (PA)

Sequência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado a uma constante chamada razão da progressão

Exemplo: (1,3,5,7,9)$\longrightarrow$ PA de razão r=2

(12,8,4,0,-4) $\longrightarrow$ PA de razão r=-4

Termo geral da PA em função

de um termo p qualquer

$\Huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf a_n=a_p+(n-p)\cdot r}}}}$

onde

$\sf a_n\longrightarrow$ termo geral

$\sf a_p\longrightarrow$ um termo qualquer da PA

$\sf n\longrightarrow$ número de termos da PA

$\sf r\longrightarrow$ razão da PA

Soma dos termos de uma PA

$\Huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf S_n=\dfrac{n\cdot(a_1+a_n)}{2}}}}}$

onde

$\sf S_n=\longrightarrow$ soma dos termos da PA

$\sf a_1\longrightarrow$ primeiro termo da PA

$\sf a_n\longrightarrow$ último termo da PA

Interpolação aritmética

Interpolar ou inserir meios aritméticos entre dois termos

significa formar uma PA com os dois termos dados desta sequência.

Vamos a resolução da questão

1) Aqui temos que $\sf n=20$  e $\sf a_1=5$ e deseja-se saber a soma de todos os termos desta progressão, ou seja, $\sf S_n$.Para isso devemos descobrir o 20º termo da sequência e Substituir esses dados na fórmula da soma dos termos da PA. Note porém que não é informada a razão da progressão e com isso a solução do problema fica incompleta.

2) Aqui, devemos encontrar o número de termos de uma PA onde o 1º termo é 101, o segundo termo é 103 , a razão é 2 e o último termo é 599. Usando a fórmula do termo geral da PA em função de um termo p qualquer temos:

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf a_n=a_1+(n-1\cdot )\cdot r\\\sf 599=101+(n-1)\cdot 2\\\sf 101+2n-2=599\\\sf 2n=599-101+2\\\sf 2n=500\\\sf n=\dfrac{500}{2}\\\\\sf n=250\end{array}}$

3) A razão da progressão pode ser encontrada subtraindo um termo pelo seu antecessor na sequência.

Na PA $\sf (1,6,11,16,21\dotsc)$ a razão é $\sf r=6-1=5$

4) Aqui devemos encontrar a soma dos 25 primeiros termos da sequência  $\sf(1,3,5\dotsc)$ . Para isso, devemos encontrar o 25º termo da sequência.

Acompanhe:

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf a_{25}=a_3+(25-3)\cdot 2\\\sf a_{25}=5+22\cdot2\\\sf a_{25}=5+44\\\sf a_{25}=49\end{array}}$

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf S_n=\dfrac{n\cdot(a_1+a_n)}{2}\\\\\sf S_{25}=\dfrac{25\cdot(1+49)}{2}\\\\\sf S_{25}=\dfrac{25\cdot\diagdown\!\!\!\!\!\!50}{\diagdown\!\!\!\!2}\\\\\sf S_{25}=25\cdot25\\\sf S_{25}=625\end{array}}$

5) Aqui devemos formar uma PA de 8 termos onde o 1º termo é 100 e o 8º termo é 184. Para isso, vamos encontrar a razão da progressão utilizando o termo geral da PA em função de um termo p qualquer.

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf a_8=184\\\sf a_1=100\\\sf a_8=a_1+(8-1)\cdot r\\\sf 184=100+7r\\\sf 7r=184-100\\\sf 7r=84\\\sf r=\dfrac{84}{7}\\\\\sf r=12\end{array}}$

A PA pedida é

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf (100,\underline{112},\underline{124},\underline{136},\underline{148},\underline{160},\underline{172},184)\end{array}}$

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