Question

1) Sobre as potências de i alguns alunos afirmaram que: Pedro: i^35=i^3=-i / Ana: i^49=i^1=i / Marcos: i^75=i^2=-1 / Fernanda: i^84=i^0=1. Desses alunos, o único que errou sua afirmação foi o:  a) Pedro
b) Ana
c) Marcos
d) Fernanda ​

Answer 1

Alternativa é a  letra C.

Os números complexo da forma ( 0, y ) são chamados imaginários.

Em particular, chama-se unidade imaginária o número complexo $\textstyle \sf i = ( \: 0, 1\:)$.

Observe que:

$\displaystyle \sf i^2 = i \cdot i = (\: 0,1\:) \cdot (\: 0, 1\:)$

$\displaystyle \sf i^2 = (\: 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \ ,\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0)$

$\displaystyle \sf i^2 = (\: - 1\ , \ 0 \: )$

$\boldsymbol{ \textstyle \sf i^2 = -\: 1 }$

Para calcular as potências $\textstyle \sf i^n$, com $\textstyle \sf n \in\mathbb{ N}$, aplicamos as regras de álgebra.

$\displaystyle \sf i^0 = 0$

$\displaystyle \sf i^1 = i$

$\displaystyle \sf i^2 = -\: 1$

$\displaystyle \sf i^3 = i^2 \cdot i = -\: 1 \cdot i = -\; i$

$\displaystyle \sf i^4 = i^3 \cdot i = -\: i \cdot i = -\:i^2 = - (-\:1) = 1$

Dessa forma, fica estabelecida a seguinte regra para o cálculo das potências naturais de i:

Para calcular $\boldsymbol{ \textstyle \sf i\:^n }$, em que $\textstyle \sf n \in\mathbb{ N}$, divide-se n por 4 e o novo expoente de i será o resto dessa divisão.

Vide a figura em anexo:

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\displaystyle \sf Pedro \to i^{35} = i^3 = -\; i$

$\displaystyle \sf Ana \to i^{49} = i^1 = i$

$\displaystyle \sf Marcos \to i^{75} = i^3 = -\; i$

$\displaystyle \sf Fernanda \to i^{84} = i^0 = 1$

Portanto, pelo dados fornecidos o único que errou na sua afirmação foi o aluno  Marcos.

Alternativa  que errou foi a letra C.

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